数学上,超积(英语:ultraproduct)是常见于抽象代数和数理逻辑(尤其模型论和集合论)的构造。超积是一族无穷多个结构之直积的商结构,不过要求该族结构具有相同的表征。超幂(英语:ultrapower)则是超积中各因子为同一个结构的特殊情况。
举例,给定一个域,可以用超幂构造出新的域。超实数域便是实数域的超幂之一。
超积有一些出奇的应用。用超积,可以写出紧致性定理与完备性定理的优雅证明。开斯勒的超幂定理,从代数角度刻划了“初等等价”此种语义概念。亚伯拉罕·鲁滨逊和埃利亚斯·扎孔(Elias Zakon)用超结构及其单同态的表示来构造分析的非标准模型,使非标准分析理论得以发展。鲁滨逊正是用紧致性定理开拓此分支。
超积的一般定义中,先选定指标集
、对应每个下标
的结构
(具相同的表征),以及
上的超滤子
。通常仅考虑
为无穷集,且
不为主超滤子的情况,即
的元素有齐
的全部余有限子集,但无任何有限子集。原因是,在主超滤子的情况下,所得的超积只会与其中一个因子同构,并无新的性质。
笛卡儿积
![{\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2be21ee39b520759391fe040eebd51e0504a58)
上的代数运算,是逐点计。例如,对于二元运算
,
。然后,在笛氏积上,定义等价关系
,使
当且仅当
![{\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {U}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf59cf914b076c8768f822f4cf92d786958f5ac)
(应当理解为“
与
在大多数位置相等”)。
最后,所得的超积,是模
的商集。所以,该超积有时记为
![{\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b699ce288e41cc884cbfe34d70d82e032a34c0)
另一种看法是,在指标集
上,定义一个有限可加的测度
(弱于一般可数可加的条件),仅取
二值,若
则称
,否则称
。然后在笛氏积中,两个元素若在几乎每个下标处皆相等,则视为等同。超积是如此生成的等价类的集合。
其他关系同理可作引申:
![{\displaystyle R([{\boldsymbol {a}}^{1}],\ldots ,[{\boldsymbol {a}}^{n}])\iff \left\{i\in I:R^{{\mathcal {M}}_{i}}(a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f26cc7721fc08e1eac9f158e32958573d8ae6d4)
其中
表示
模
所属的等价类。
特别地,若每个
皆为有序域,则所得的超积亦然。
所谓超幂,意思是所有因子
皆相等的超积:
![{\displaystyle {\mathcal {M}}^{I}/{\mathcal {U}}=\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}/{\mathcal {U}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3515fbe9803880db5e924b0fce1e7245229b0e)
也可以推广到
不为超滤子,而仅为
上普通一个滤子的情况。此时所得的模型
称为约化积(英语:reduced product)。
超实数系是可数无穷多个(以自然数集编号)实数系的超积,其中所选的超滤子含有全部余有限集。超实数系的大小次序扩展了实数之间的大小次序。例如,
的序列
所在的等价类,记为超实数
,比任意实数都要大,因为对于任意实数
,
除有限项外皆比
大。于是,
可以理解成无穷大数。
类似地,可以定义非标准整数系、非标准复数系等,为相应标准结构的超积。
又考虑以下例子,以便理解超积中关系的定义。设超实数
为序列
所在的等价类。由于对每个
都有
,在超积中,有
,所以
是较原先构造出的
更大的无穷大数。又考虑与
类似的序列
,令
时,
,但
。则虽然两个序列
,但两者仅在有限个下标处不相等,故两者相等的下标集合是超滤子的元素(因为是余有限集),从而作为等价类,有
。
大基数论中,有个标准构造是小心选取超滤子
,然后取整个集合论全类关于
的超积。此时,
的性质,对于所得超积的(高阶)性质影响很大。例如,若
可数完备,则相应的超积仍是良基的。该范例在可测基数 § 定义有提及。
沃希定理(英语:Łoś's theorem),又称超积基本定理,由耶日·沃希所证(波兰语发音:[ˈjɛʐɨ ˈwɔɕ])。定理断言,任何一条一阶逻辑式在超积
中为真,当且仅当使该公式在
中成立的指标
的集合,是
的元素。后一个条件,可以直观理解为“大多数”
皆认为该公式为真。严谨叙述如下:
设有表征
,指标集
,其上的超滤子
,且对每个
,有
结构
。又设
为
关于
之超积,即
。则对任意
个多元组
,其中
,以及对任意
公式
,
![{\displaystyle {\mathcal {M}}\models \varphi (a^{1},\ldots ,a^{n})\iff \left\{i\in I:{\mathcal {M}}_{i}\models \varphi (a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de8dac1365f6fc02f9d12b8e2aafbac14e5dbf4)
定理对公式
的复杂度归纳得证。
为超滤子(而不仅是滤子)的性质,在加入否定的一步用到。而在加存在量词的一步,要用到选择公理。应用定理可得超实域的转移原理。
设
为结构
上的一元关系,并构造
的超幂。则集合
在超幂中有对应的子集
,而在
中,对
量化且为真的一阶公式,将
换成
后,仍在超幂中成立。例如,设
为实数集。设
表示“
为有理数”。则在
中,对每对有理数
,总有无理数
介于两者之间。即:
![{\displaystyle {\mathcal {M}}\models (\forall x)(\forall y)(Rx\wedge Ry\wedge (x<y)\implies (\exists z)(\neg Rz\wedge x<z<y)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e5bbc46420350081c814730ac18a6e43858631)
既然有理数集
此一性质可以写成一阶命题,沃希定理推出,超有理数集
仍有同一性质,即任意两个超有理数之间,有一个不为超有理数的超实数(“超无理数”)。更一般地,超有理数集与有理数集具有完全一样的一阶性质。
然而,考虑实数的阿基米德性质,即不存在实数
同时满足
此列无穷多条不等式。阿基米德性质无法用一阶逻辑表示,所以,沃希定理不适用于此性质,不能推导出超实数满足阿基米德性质。正好相反,超实数不满足阿基米德性质,例如前一节构造的超实数
,就比
都要大。
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png)
关于一列度量空间的超积,请见“
超极限”。
模型论和集合论中,常考虑一列超幂的正极限(范畴论的余极限)。模型论中,此构造称为超极限(英语:ultralimit)或极限超幂(英语:limiting ultrapower)。
从某结构
和超滤子
开始,构造出超幂
,并重复,得到
等。对每个
,有典范对角嵌入
。在极限阶段,如
,取此前所有结构的正极限,如此便可取超限多次超幂。