格林函数

在数学中，格林函数（点源函数、影响函数）是一种用来解有初始条件或边界条件的非齐次微分方程的函数。在物理学的多体理论中，格林函数常常指各种关联函数，有时并不符合数学上函数的定义。

格林函数的名称是来自于英国数学家乔治·格林（George Green），早在1830年代，他是第一个提出这个概念的人。

定义以及用法

给定流形$M\,$上的微分算子 $L\,$，其格林函数$G(x,s)\,s,x\in M$，为以下方程的解

$LG(x,s)=\delta (x-s)\ \ \ \ \ (1)$

其中 $\delta \,$ 为狄拉克δ函数。此技巧可用来解下列形式的微分方程：

$Lu(x)=f(x)\ \ \ \ (2)$

若$L$的 零空间非平凡，则格林函数不唯一。不过，实际上因着对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯一的格林函数。一般来说，格林函数只是一个广义函数。

格林函数在凝聚态物理学中常被使用，因为格林函数允许扩散方程式有较高的精度。在量子力学中，哈密顿算子的格林函数和状态密度有重要的关系。由于扩散方程式和薛定谔方程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。

动机

若可找到线性算符 $L\,$ 的格林函数 $G\,$，则可将 (1) 式两侧同乘$f(s)\,$，再对变数 $s\,$ 积分，可得：

$\int LG(x,s)f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)ds=f(x).$

由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于 $Lu(x)\,$，因此：

$Lu(x)=\int LG(x,s)f(s)ds.$

由于算符 $L\,$ 为线式，且只对变数 $x\,$ 作用，不对被积分的变数 $s\,$ 作用），所以可以将等号右边的算符 $L\,$ 移到积分符号以外，可得：

$Lu(x)=L\left(\int G(x,s)f(s)ds\right).$

而以下的式子也会成立：

$u(x)=\int G(x,s)f(s)ds.\ \ \ \ (3)$

因此，若知道 (1) 式的格林函数，及 (2) 式中的 f(x)，由于 L 为线性算符，可以用上述的方式得到 u(x)。换句话说， (2) 式的解 u(x) 可以由 (3) 式的积分得到。若可以找到满足 (1) 式的格林函数 G ，就可以求出 u(x)。

并非所有的算符 L 都存在对应的格林函数。格林函数也可以视为算符 L 的左逆元素。撇开要找到特定算符的格林函数的难度不论，(3) 式的积分也很难求解，因此此方法只能算是提供了一个理论上存在的解法。

格林函数可以用来解非齐次的微-积分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若 G 是算符 L 的格林函数，则方程式 Lu = f 的解 u 为

$u(x)=\int {f(s)G(x,s)\,ds}.$

可以视为 f 依狄拉克δ函数的基底展开，再将所有投影量叠加的结果。以上的积分为弗雷德霍姆积分方程。

非齐次边界值问题的求解

格林函数的主要用途是用来求解非齐次的边界值问题。在近代的理论物理中，格林函数一般是用来作为费曼图中的传播子，而“格林函数”一词也用来表示量子力学中的关联函数。

研究框架

令 $L$ 为一个施图姆-刘维尔算子，是一个以以下形式表示的线性微分算子

$L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]+q(x)$

而 D 是边界条件算子

$Du=\left\{{\begin{matrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l)\end{matrix}}\right.$

令 $f(x)$ 为在 $[0,l]$ 区间的连续函数，并假设以下问题

${\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}$

有正则特牲；即其齐次问题只存在寻常解。

定理

则存在唯一解 $u(x)\,$ 满足以下方程式

${\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}$

而其解的计算方式如下

$u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)g(x,s)\,ds$

而中 $g(x,s)\,$ 即为格林函数，有以下的特性：

1. $g(x,s)\,$ 对 $x\,$ 及 $s\,$ 连续。
2. 对所有 $x\neq s$, $Lg(x,s)=0\,$.
3. 对所有 $s\neq 0,l$, $Dg(x,s)=0\,$.
4. 微分跳跃：$g'(s_{+0},s)-g'(s_{-0},s)=1/p(s)\,$.
5. 对称：$g(x,s)=g(s,x)\,$.

寻找格林函数

特征向量展开

若一微分算子 L 有一组完备的特征向量 $\Psi _{n}(x)$（也就是一组函数 $\Psi _{n}(x)$ 及标量 $\lambda _{n}$ 使得 $L\Psi _{n}=\lambda _{n}\Psi _{n}$ 成立）则可以由特征向量及特征值产生格林函数。

先假设函数 $\Psi _{n}(x)$ 满足以下的完备性：

$\delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}(x)\Psi _{n}(x').$

经由证明可得下式：

$G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x)\Psi _{n}(x')}{\lambda _{n}}}.$

若在等号两侧加上微分算子 L，则可以证明以上假设的完备性。

有关以上格林函数的进一步研究，及格林函数和特征向量所组成空间的关系，则为弗雷德霍姆理论所要探讨的内容。

拉普拉斯算子的格林函数

先由格林定理开始：

$\int _{V}(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi )dV=\int _{S}(\phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi )\cdot d{\hat {\sigma }}$

假设线性算符 L 为拉普拉斯算子 $\nabla ^{2}$，而 G 为拉普拉斯算子的格林函数。则因为格林函数的定义，可得下式：

$LG(x,x')=\nabla ^{2}G(x,x')=\delta (x-x')$

令格林定理中的 $\,\!\psi =G$，可得：

$\int _{V}\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'-\int _{V}G(x,x')\nabla ^{2}\phi (x')\ d^{3}x'=\int _{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'\ \ \ \ \ (4)$

根据上式，可以解拉普拉斯方程 $\nabla ^{2}\phi (x)=0$ 或 泊松方程 $\nabla ^{2}\phi (x)=-4\pi \rho (x)$，其边界条件可以为狄利克雷边界条件或是诺伊曼边界条件。换句话说，在以下任一个条件成立时，可以解一空间内任一位置的 $\,\!\phi (x)$：

1. 已知 $\,\!\phi (x)$ 在边界上的值（狄利克雷边界条件）。
2. 已知 $\,\!\phi (x)$ 在边界上的法向导数（诺伊曼边界条件）。

若想解在区域内的 $\,\!\phi (x)$，由于狄拉克δ函数的特性，(4) 式等号左边的第一项

$\int \limits _{V}{\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'}$

可化简为 $\,\!\phi (x)$ ，再将 (4) 式等号左边第二项 $\nabla ^{2}\phi (x')$ 用 $\,\!\rho '(x')$ 表示，（若为泊松方程，$\,\!\rho '(x)=-4\pi \rho (x)$，若为拉普拉斯方程，$\,\!\rho '(x)=0$），可得：

$\phi (x)=\int _{V}G(x,x')\rho '(x')\ d^{3}x'+\int _{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'\ \ \ \ \ (5)$

上式即为调和函数（harmonic function）的特性之一：若边界上的值或法向导数已知，则可以求出区域内每个位置的数值。

在静电学中，$\,\!\phi (x)$ 为电位，$\,\!\rho (x)$ 为电荷密度，而法向导数 $\nabla \phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'$ 则为电场在法向的分量。

若目前的边界条件为狄利克雷边界条件，可以选择在 x 或 x' 在边界时，其值也为 0 的格林函数。若边界条件为诺伊曼边界条件，可以选择在 x 或 x' 在边界时，其法向导数为 0 的格林函数。因此 (5) 式等号右侧的二个积分项有一项为 0 ，只剩下一项需计算。

在自由空间的情形下（此时可将边界条件视为：$\lim _{{\hat {x}}\to \infty }\phi (x)=0$），拉普拉斯算子的格林函数为：

$G({\hat {x}},{\hat {x}}')={\frac {1}{|{\hat {x}}-{\hat {x}}'|}}$

若 $\,\!\rho ({\hat {x}})$ 为电荷密度，则可得到电荷密度和电位 $\,\!\phi ({\hat {x}})$ 的公式：

$\phi ({\hat {x}})=\int _{V}{\frac {\rho (x')}{|{\hat {x}}-{\hat {x}}'|}}\ d^{3}x'$

范例

针对以下微分方程

${\begin{matrix}Lu\end{matrix}}=u''+u=f(x)$

$Du=u(0)=0\quad ,\quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0$

找出格林函数。

第 1 步

根据定理中，格林函数的特性 2，可得

$g(x,s)=c_{1}(s)\cdot \cos x+c_{2}(s)\cdot \sin x$

在 x < s 时因特性 3 可知

$g(0,s)=c_{1}(s)\cdot 1+c_{2}(s)\cdot 0=0,\quad c_{1}(s)=0$

（此时不需考虑 $g({\frac {\pi }{2}},s)=0$ 的式子，因 $x\neq {\frac {\pi }{2}}$）在 x > s 时因特性 3 可知

$g({\frac {\pi }{2}},s)=c_{1}(s)\cdot 0+c_{2}(s)\cdot 1=0,\quad c_{2}(s)=0$

（此时不需考虑 $\quad g(0,s)=0$ 的式子，因 $x\neq 0$）整理上述的结果，可得以下的式子。

$g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}a(s)\sin x,\;\;x<s\\b(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.$

第 2 步

依格林函数的特性，找出 a(s)和b(s).

根据特性 1，可得

$a(s)\sin s=b(s)\cos s\quad$.

根据特性 4，可得

$b(s)\cdot [-\sin s]-a(s)\cdot \cos s={\frac {1}{1}}=1\,.$

解上述二式，可以求出 a(s)和b(s)

$a(s)=-\cos s\quad ;\quad b(s)=-\sin s$.

因此格林函数为

$g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.$

对照此解和格林函数的特性 5，可知此解也满足特性 5 的要求。

其他举例

• 若流形为 R，而线性算符 L 为 d/dx，则单位阶跃函数 H(x − x₀) 为 L 在 x₀ 处的格林函数。
• 若流形为第一象限平面 { (x, y) : x, y ≥ 0 } 而线性算符 L 为拉普拉斯算子，并假设在x = 0 处有狄利克雷边界条件，而在y = 0 处有诺依曼边界条件，则其格林函数为

$G(x,y,x_{0},y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right]$

$+{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\right].$

参见

• 离散格林函数，可定义于图以及网上。
• 脉冲响应
• 格林恒等式
• 基尔霍夫积分定理

参考

• Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9.（其中的第五章介绍如何使用格林函数解静电场的边界值问题）
• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Green's Function. MathWorld. 
• Green's function for differential operator at PlanetMath.
• Green's function. PlanetMath. 
• 格林函数简介（英文）