拟等距同构

拟等距同构是数学上度量空间之间的等价关系，着重在度量空间上的粗结构，而忽略掉小尺寸上的细节。这样有如从远处观看度量空间，看到其大概，而察看不出细处的分别。

定义

设有两个度量空间$(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$，并有（未必连续的）映射$f:X\to Y$。若存在常数$L\geq 1$, $C\geq 0$，使得对所有$x_{1},x_{2}\in X$，有

$d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Ld_{X}(x_{1},x_{2})+C$

那么称映射f是(L, C)-粗利普希茨的。这条不等式，可视为f在长距离时差不多是L-利普希茨连续的。

若对所有$x_{1},x_{2}\in X$，有

${\frac {1}{L}}d_{X}(x_{1},x_{2})-C\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Ld_{X}(x_{1},x_{2})+C$

那么称映射f是一个(L, C)-拟等距嵌入。虽然f不一定符合平常意义上的嵌入，即f未必把两个不同的点映射到不同的点上，但是对两个相隔得足够远的点，这两点的像也是不同的。

拟等距映射有两个等价定义：

• 若$f:X\to Y$是(L, C)-粗利普希茨映射，且存在(L, C)-粗利普希茨映射$g:Y\to X$，使得对所有$x\in X$，所有$y\in Y$，都有

$d_{X}(g(f(x)),x)\leq C$

$d_{Y}(f(g(y)),y)\leq C$

那么称映射f为(L, C)-拟等距映射。这两条不等式，可视为在长距离时，f, g差不多是互为逆映射。

• f是一个(L, C)-拟等距嵌入，并且对任一点$y\in Y$，都存在$x\in X$使

$d_{Y}(y,f(x))\leq C$

那么称映射f为(L, C)-拟等距映射。这条不等式，是说Y中每一点距离X的像f(X)都不超过C。对这定义的f，可以构造前一定义的g如下：对每一点$y\in Y$，取任一个$x\in X$使得$d_{Y}(y,f(x))\leq C$，并令$g(y):=x$。

这两个定义中的L, C值可能不同。

两个度量空间$(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$若存在(L, C)-拟等距映射f，则X, Y称为(L, C)-拟等距同构。若常数L, C的值不要紧时，可以简单地称X, Y为拟等距同构。

对度量空间X, Y, Z，如果$f_{1}:X\to Y$, $f_{2}:Y\to Z$都是拟等距映射，那么$f_{2}\circ f_{1}:X\to Z$也是拟等距映射。

例子

设函数$f:\mathbb {R} \to \mathbb {Z}$，以四舍五入方式，从实数映射到整数上。那么f是一个拟等距映射。按拟等距映射的定义一，可以取L=1, C=1，而$g:\mathbb {Z} \to \mathbb {R}$可用g(x)=x。因此$\mathbb {R}$和$\mathbb {Z}$是拟等距同构。

对任何正整数n，$\mathbb {R} ^{n}$和$\mathbb {Z} ^{n}$间也有类似的拟等距映射，所以$\mathbb {R} ^{n}$和$\mathbb {Z} ^{n}$是拟等距同构。

任何两个有界的度量空间都是拟等距同构，在两者间的任何映射都是拟等距映射。

群论上的应用

一个有限生成群G，其中任何两个有限生成集合S, T赋予G两个字度量$d_{S}$, $d_{T}$，那么$(G,d_{S})$和$(G,d_{T})$是拟等距同构。所以纵使G可以有多种不同的字度量，但都对应同一个拟等距同构类。因此，可以定义有限生成群之间的拟等距同构关系。而一般的度量空间中的性质，凡是于拟等距映射下不变的，都可以用为有限生成群的性质。几何群论中的双曲群正是一例。

如果一个有限生成群作用于一个度量空间，并满足一些条件，根据施瓦茨－米尔诺引理，这个群和受其作用的度量空间是拟等距同构。故此可以从研究度量空间，得知群的一些性质。