抛物面坐标系

抛物面坐标系（英语：Paraboloidal coordinates）是一种三维正交坐标系，是二维抛物线坐标系的推广。与大多数的三维正交坐标系的生成方法不同，抛物面坐标系不是由任何二维正交坐标系延伸或旋转生成的。

三维抛物面坐标系的坐标表面。

基本公式

从直角坐标 $(x,\ y,\ z)$ 变换至抛物面坐标 $(\lambda ,\ \mu ,\ \nu )$ ：

$x^{2}={\frac {\left(A-\lambda \right)\left(A-\mu \right)\left(A-\nu \right)}{B-A}}$ 、

$y^{2}={\frac {\left(B-\lambda \right)\left(B-\mu \right)\left(B-\nu \right)}{A-B}}$ 、

$z={\frac {1}{2}}\left(A+B-\lambda -\mu -\nu \right)$ ；

其中，抛物面坐标遵守以下限制：

$\lambda <B<\mu <A<\nu$ 。

坐标曲面

$\lambda$-坐标曲面是椭圆抛物面 (elliptic paraboloid) ：

${\frac {x^{2}}{\lambda -A}}+{\frac {y^{2}}{\lambda -B}}=2z+\lambda$ 。

$\mu$-坐标曲面是双曲抛物面 ：

${\frac {x^{2}}{\mu -A}}+{\frac {y^{2}}{\mu -B}}=2z+\mu$ 。

$\nu$-坐标曲面也是椭圆抛物面 ：

${\frac {x^{2}}{\nu -A}}+{\frac {y^{2}}{\nu -B}}=2z+\nu$ 。

标度因子

抛物面坐标的标度因子分别为

$h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\nu -\lambda \right)}{\left(A-\lambda \right)\left(B-\lambda \right)}}}$ 、

$h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\mu \right)\left(\lambda -\mu \right)}{\left(A-\mu \right)\left(B-\mu \right)}}}$ 、

$h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{\left(A-\nu \right)\left(B-\nu \right)}}}$ 。

无穷小体积元素等于

$dV={\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{8{\sqrt {\left(A-\lambda \right)\left(B-\lambda \right)\left(A-\mu \right)\left(\mu -B\right)\left(\nu -A\right)\left(\nu -B\right)}}}}\ d\lambda d\mu d\nu$ 。

其它微分算子，例如 $\nabla \cdot \mathbf {F}$ 、$\nabla \times \mathbf {F}$ ，都可以用椭球坐标表达，只需要将标度因子代入正交坐标条目内对应的一般公式。

参考目录

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 664. ISBN 0-07-043316-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 184–185.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 180. ASIN B0000CKZX7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Arfken G. Mathematical Methods for Physicists 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. 1970: pp. 119–120.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Same as Morse & Feshbach (1953), 代替 u_k 为 ξ_k.

• Moon P, Spencer DE. Paraboloidal Coordinates (μ,\ ν,\ λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 44–48 (Table 1.11). ISBN 978-0387184302.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

外部链接

• MathWorld 的抛物面坐标系 （页面存档备份，存于互联网档案馆）