序列

序列（英语：Sequences）在数学中是指被排成一列的数学实体（如数字、函数），其中常见的就是排成一列的数，即数列。

正式定义

序列的定义

$S$ 是一个集合，那

函数 $f:\mathbb {N} \to S$ 被称为“定义在 $S$ 上的 无穷序列”。而函数值 $f(i)$ 可简记为 $f_{i}$ ，甚至函数 $f$ 本身也可记为 ${\{f_{i}\}}_{i\in \mathbb {N} }$ 。

给定一个正整数 $n\in \mathbb {N}$ ，那函数 $g:\{1,\,2,...,\,n\}\to S$ 被称为“定义在 $S$ 上的 有限序列”。通常将 $g(j)$ 简记为 $g_{j}$ ，且 $g$ 本身也记为 ${\{g_{j}\}}_{j=1}^{n}$ 。

直观上就是用数码去标记一列数学实体（如数字、函数）。

例如，(C,Y,R)是一个字母的序列：顺序是C第一，Y第二，R第三。序列可以是有限的（就像前面这个例子），也可以是无限的，就像所有正偶数的序列（2,4,6,...）。有限序列包含空序列（），它没有元素。序列中的元素也称为项，项的个数（可能是无限的）称为序列的长度。

若序列的项属于一个偏序集，则单调递增序列就是其中每个项都大于等于之前的项；若每个项都严格大于之前的项，这个序列就是严格单调递增的。类似可定义单调递减序列。单调序列是单调函数的一个特例。

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}=1-{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}.

有限的序列称为列表（lists）。有限的字符串序列称为字符串（string）。无限的序列称为字符串流（stream）。

Последовательность. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика. Сост. А. П. Савин. 1985 （俄语）. （俄文）

各种函数
$x \mapsto f (x)$
不同定义域和陪域
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $\mathbb {B}$ $X$ →（英语：integer-valued function） $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z} ^{+}$ → $X$ $X$ →（英语：real-valued function） $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ →（英语：function of several real variables） $X$ $X$ →（英语：complex-valued function） $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ →（英语：Function of several complex variables） $X$
函数类/性质
常值恒等线性多项式有理代数解析光滑连续可测单射满射双射
构造
限制复合 λ 逆
推广
偏多值隐
查论编