对数凸函数 [ 注解 1] 超凸函数 [ 1] 函数 f ，其
log
∘
f
{\displaystyle {\log }\circ f}
f 取对数 后的数值）仍为凸函数 ，其原函数即为对数凸函数。
令X 实数 向量空间 内的凸集 ，令f : X → R f
对数凸函数 若
log
∘
f
{\displaystyle {\log }\circ f}
严格对数凸函数 若
log
∘
f
{\displaystyle {\log }\circ f}
此处视
log
0
{\displaystyle \log 0}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
明显可看出，f x 1 , x 2 ∈ X t ∈ [0, 1]
log
f
(
t
x
1
+
(
1
−
t
)
x
2
)
≤
t
log
f
(
x
1
)
+
(
1
−
t
)
log
f
(
x
2
)
,
f
(
t
x
1
+
(
1
−
t
)
x
2
)
≤
f
(
x
1
)
t
f
(
x
2
)
1
−
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}}
而f t ∈ (0, 1)
以上定义允许f f X f X
若f I ⊆ R f I x y
log
f
(
x
)
≥
log
f
(
y
)
+
f
′
(
y
)
f
(
y
)
(
x
−
y
)
.
{\displaystyle \log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).}
这和以下条件等效，只要x y I x > y
(
f
(
x
)
f
(
y
)
)
1
x
−
y
≥
exp
(
f
′
(
y
)
f
(
y
)
)
.
{\displaystyle \left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq \exp \left({\frac {f'(y)}{f(y)}}\right).}
而且f
若f I x
f
″
(
x
)
f
(
x
)
≥
f
′
(
x
)
2
.
{\displaystyle f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}.}
若上述的不等式是严格不等式，则f f x
f
″
(
x
)
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
2
{\displaystyle f''(x)f(x)=f'(x)^{2}}
f
(
x
)
=
exp
(
x
4
)
{\displaystyle f(x)=\exp(x^{4})}
f
f
″
(
0
)
f
(
0
)
=
0
=
f
′
(
0
)
2
{\displaystyle f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}}
f
:
I
→
(
0
,
∞
)
{\displaystyle f\colon I\to (0,\infty )}
e
α
x
f
(
x
)
{\displaystyle e^{\alpha x}f(x)}
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
[ 2] [ 3]
若
f
1
,
…
,
f
n
{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}
w
1
,
…
,
w
n
{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}
f
1
w
1
⋯
f
n
w
n
{\displaystyle f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}}
若
{
f
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}
g
=
sup
i
∈
I
f
i
{\displaystyle g=\sup _{i\in I}f_{i}}
若
f
:
X
→
I
⊆
R
{\displaystyle f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R} }
g
:
I
→
R
≥
0
{\displaystyle g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}}
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
对数函数会大幅降低函数成长的速率，因此若取对数后仍为凸函数，表示函数上升的速度比凸函数还快，因此会称为超凸函数。
对数凸函数f 本身是凸函数 ，因为这是递增 凸函数
exp
{\displaystyle \exp }
log
∘
f
{\displaystyle \log \circ f}
复合函数 。但凸函数和对数的复合函数不一定都是凸函数。像
g
:
x
↦
x
2
{\displaystyle g:x\mapsto x^{2}}
log
∘
g
:
x
↦
log
x
2
=
2
log
|
x
|
{\displaystyle {\log }\circ g:x\mapsto \log x^{2}=2\log |x|}
g
{\displaystyle g}
x
↦
e
x
2
{\displaystyle x\mapsto e^{x^{2}}}
x
↦
log
e
x
2
=
x
2
{\displaystyle x\mapsto \log e^{x^{2}}=x^{2}}
f
(
x
)
=
exp
(
|
x
|
p
)
{\displaystyle f(x)=\exp(|x|^{p})}
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
p
>
1
{\displaystyle p>1}
f
(
x
)
=
1
x
p
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{p}}}}
p
>
0.
{\displaystyle p>0.}
(
0
,
∞
)
{\displaystyle (0,\infty )}
正数 上的Γ函数 是对数凸函数。（参见波尔-莫勒鲁普定理
^ 此条目中“凸函数”的定义是指其下方图是凸集，和凸函数 条目中的定义不同。
John B. Conway. Functions of One Complex Variable I , second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3 .
Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization . Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783 .
Montel, Paul, Sur les fonctions convexes et les fonctions sousharmoniques, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1928, 7 : 29–60 （French） 
