复平面上的三次单位根
数学上,
次单位根是
次幂为1的复数。它们位于复平面的单位圆上,构成正多边形的顶点,但最多只可有两个顶点同时标在实数线上。
![{\displaystyle z^{n}=1\qquad (n=1,2,3,\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b613362fe31c8129f107ee3cded1b148136db82a)
这方程的复数根
为
次单位根。
单位的
次根有
个:
。
本原根[编辑]
单位的
次根以乘法构成
阶循环群。它的生成元是
次本原单位根。
次本原单位根是
,其中
和
互质。
次本原单位根数目为欧拉函数
。
全体i次单位根对普通乘法作成群,即i次单位根群。所有全体i次单位根群在普通乘法下也可作成群,且这是一个无限交换群,这个无限交换群里的每个元素的阶都有限。
一次单位根有一个:
。
二次单位根有两个:
和
,只有
是本原根。
三次单位根是
![{\displaystyle \left\{1,{\frac {-1+{\sqrt {3}}{i}}{2}},{\frac {-1-{\sqrt {3}}{i}}{2}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab58aa3989d88c306caf2804377e4a70e7972fd4)
其中
是虚数单位;除
外都是本原根。
四次单位根是
![{\displaystyle \left\{1,i,-1,-i\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9127ead699881799c6fddb3cc0a9a757a5632d)
其中
和
是本原根。
当
不小于
时,
次单位根总和为
。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是等比级数:
。
第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点,而从对称性知这多边形的重心在原点。
还有一个证法利用关于方程根与系数的韦达定理,由分圆方程的
项系数为零得出。