八面半八面体

八面半无穷星形八面体
类别	无穷星形多面体
对偶多面体	八面半八面体
识别
名称	八面半无穷星形八面体
参考索引	DU3
数学表示法
考克斯特符号; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
性质
面	12
边	24
顶点	12
欧拉特征数	F=12, E=24, V=12 （χ=0）
组成与布局
面的种类	12个四条棱的抽象多胞形（英语：Abstract_polytope）
顶点图	每个顶点周围都有3个面
对称性
对称群	Oh, [4,3], *432
图像
	; 八面半八面体; （对偶多面体）
	; 八面半八面体; （对偶多面体）
	查; 论; 编;

八面半八面体
类别	星形均匀多面体
对偶多面体	八面半无穷星形八面体
识别
名称	八面半八面体
参考索引	U3, C37, W68
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	oho
数学表示法
考克斯特符号; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
威佐夫符号; （英语：Wythoff symbol）	3/2 3 \| 3
性质
面	12
边	24
顶点	12
欧拉特征数	F=12, E=24, V=12 （χ=0）
亏格	-1
组成与布局
面的种类	8个三角形{3}; 4个六边形{6}; 存在半三角形{3/2}; 一种抽象多胞形（英语：Abstract_polytope）
面的布局; （英语：Face configuration）	8{3}+4{6}
顶点图	3.6.3/2.6
对称性
对称群	Oh, [4,3], *432
特性
	均匀
图像
	; 3.6.3/2.6; （顶点图）
; 八面半无穷星形八面体; （对偶多面体）	; （展开图）
	查; 论; 编;

在几何学中，八面半八面体是一种非凸多面体，属于星形多面体及均匀多面体^[1]，也可以归类在非凸均匀多面体，其索引为U₃。八面半八面体由8个正三角形和4个正六边形组成，且每个顶点对应的角皆相等，因此也可以被归类为拟正多面体^[2]，然而由于这个立体同时具备半多面体的特性，因此被部分学者分成一类新的立体，即拟正半多面体（Versi-Regular Polyhedra），这类立体共有九个，最早在1881年由亚伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）发现并描述^[3]。特别地，这个立体的边长与外接球半径相等^[4]。八面半八面体可以与星形八面体共同堆砌填满空间，因此曾应用于建筑结构中。^[5]

性质

八面半八面体共有12个面、24条边和12个顶点^[6]^[7]，是一种十二面体，每个顶点都是2个正三角形和2个六边形的公共顶点。^[6]

定向性

八面半八面体是唯一可定向且欧拉示性数为零的半多面体，^[8]这意味着其具有拓扑环面的性质。^[9]

八面半八面体	八面半八面体在拓朴上的展开图可以排布为分割成8个正三角形和4个正六边形的菱形。所有顶点的角亏为零	这个展开图是截半六边形镶嵌的一部分，在威佐夫符号（英语：Wythoff symbol）中计为3 3 \| 3、考克斯特-狄肯记号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）计为

二面角

八面半八面体仅有一种二面角，为三角形和六边形的棱之交角，其值为三分之一的反余弦值^[10]^[11]：

\cos ^{-1}({\frac {1}{3}})\approx 1.230959417\approx 70.5287^{\circ }

其值约为70度31分43.6秒

顶点座标

由于其凸包为截半立方体，因此其12顶点会与截半立方体相同，为(0, ±1, ±1),(±1, 0, ±1),(±1, ±1, 0)，若边长为a，则座标要缩放 ${\frac {\sqrt {2}}{2}}a$ 倍。^[12]

作为简单多面体

八面半八面体具有抽象多胞形半三角形面和互相相交的六边形面，但若去除相交的面作为一个简单多面体，则其可以视为由32个正三角形组成的凹多面体^[13]^[14]。这种多面体共有32个面、48条边和13个顶点，其结构与四角化截半立方体拓朴同构，不过四角化截半立方体有18个顶点而这种多面体仅有13个顶点是因为有6个顶点在中心共用。另一方面，这个立体也可以视为由8个正四面体组合而成。^[15]^:103

四角化截半立方体
截半立方体
倒四角化截半立方体
八面半八面体

对偶多面体

八面半八面体的对偶多面体是八面半无穷星形八面体。其外观与立方半无穷星形八面体相同^[16]。

从定义上来看，对偶多面体的面会与原始立体的顶点图相同，同时顶点周围之面的排列方式会和原始立体的面之边相同，也就是说对偶多面体的顶点图为原始立体的面^[17]。由于八面半无穷星形八面体是八面半八面体的对偶多面体，而八面半八面体的12个顶点皆为4个面的公共顶点，因此八面半无穷星形八面体的面理应具有12个面，每个面由4个边组成^[7]。然而八面半八面体有部分面几何中心落在整个立体的几何中心上，因此其对偶多面体的顶点会落在无穷远处，即无穷实射影平面上的点。^[18]一般来说，这样的立体无法被具象化^[7]。为了具像化这种立体，温尼尔在著作《对偶模型》中将其描述为由无限高的柱体组合构成的立体，在这样的视觉化方式下，八面半八面体外观为由4个无限高的六角柱构成的立体^[18]。

中心八面半八面体数

中心八面半八面体数是一种排列成八面半八面体的有形数。第n个中心八面半八面体数可以表示为 ${\tfrac {4n^{3}+24n^{2}+8n+3}{3}}$ ^[23]。由于八面半八面体数与截半立方体共用相同的顶点排列方式，因此数列前两项与中心截半立方体数（OEIS数列A005902）相同，第三项开始少去了八面半八面体数相对于截半立方体缺少的6个四角锥^[23]

前几个中心八面半八面体数为：

1, 13, 49, 117, 225, 381, 593, 869, 1217, 1645, 2161, 2773, 3489, 4317, 5265, 6341....（OEIS数列A274974）

参见

五复合八面半八面体（英语：Compound of five octahemioctahedra）

参考文献

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外部链接

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截半立方体		立方半八面体	八面半八面体
八面体对称	四面体对称	立方半八面体	八面体对称	四面体对称

2 \| 3 4	3 3 \| 2	4/3 4 \| 3		3/2 3 \| 3

查论编半多面体
拟正半多面体	四面半六面体八面半八面体立方半八面体小二十面半十二面体大二十面半十二面体大十二面半十二面体小十二面半二十面体小十二面半二十面体大十二面半二十面体
拟正半多面体对偶（无穷星形多面体）	四面半无穷星形六面体八面半无穷星形八面体（章节）立方半无穷星形八面体小二十面半无穷星形十二面体（英语：Small icosihemidodecacron）小十二面半无穷星形十二面体（英语：Small dodecahemidodecacron）大二十面半无穷星形十二面体（英语：Great icosihemidodecacron）大十二面半无穷星形十二面体（英语：Great dodecahemidodecacron）小十二面半无穷星形二十面体（英语：Small dodecahemicosacron）大十二面半无穷星形二十面体（英语：Great dodecahemicosacron）
半刻面多面体	半刻面立方体五复合半刻面立方体半刻面八面体
拟正半镶嵌图	双三角形半无限边形镶嵌正方形半无限边形镶嵌三角形半无限边形镶嵌六边形半无限边形镶嵌
其他有面通过整体几何中心的立体	大二重斜方截半二十面体大二重扭棱二重斜方十二面体

查论编均匀多面体
四面体群对称	正四面体截角四面体四面半六面体
八面体群对称	立方体正八面体截角立方体截角八面体截半立方体小斜方截半立方体大斜方截半立方体扭棱立方体八面半八面体立方半八面体小斜方立方体小立方立方八面体非凸大斜方截半立方体星形截角立方体大斜方立方体大立方截半立方体立方截角立方八面体星形截角截半立方体
二十面体群对称	正十二面体正二十面体小星形十二面体大十二面体大星形十二面体大二十面体截角十二面体截半二十面体截角二十面体小斜方截半二十面体大斜方截半二十面体扭棱十二面体大双三斜三十二面体小十二面半十二面体大十二面半十二面体小十二面半二十面体大十二面半二十面体小二十面半十二面体大二十面半十二面体小十二面二十面体大十二面二十面体斜方二十面体小斜方十二面体大斜方十二面体小十二面截半二十面体大十二面截半二十面体小双三角十二面截半二十面体大双三角十二面截半二十面体小二十面化截半二十面体大二十面化截半二十面体双三斜十二面体小双三斜三十二面体大截半二十面体截角大十二面体截半大十二面体小星形截角十二面体大星形截角十二面体截角大二十面体斜方截半大十二面体非凸大斜方截半二十面体二十面截角十二面十二面体二十面化截半大十二面体截角截半大十二面体大截角截半二十面体大二重斜方截半二十面体大二重扭棱二重斜方十二面体完全扭棱二十面体小反屈扭棱二十面截半二十面体大反屈扭棱截半二十面体扭棱小星形十二面体反扭棱小星形十二面体扭棱大星形十二面体反扭棱大星形十二面体大扭棱十二面截半二十面体扭棱二十面化截半大十二面体
其他	柱状均匀多面体星形均匀多面体

性质

定向性

二面角