克莱姆法则

克莱姆法则或克莱姆法则（英语：Cramer's rule / formula）是一个线性代数中的定理，用行列式来计算出线性等式组中的所有解。这个定理因加百列·克莱姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在计算上，并非最有效率之法，因而在很多条等式的情况中没有广泛应用。不过，这一定理在理论性方面十分有效。

基本方程

一个线性方程组可以用矩阵与向量的方程来表示：

$Ax=c\,\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

其中的$A$是一个$n\times n$的方块矩阵，而向量 $x=(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})^{T}$ 是一个长度为n的行向量。$c=(c_{1},c_{2},\cdots c_{n})^{T}$ 也一样。

克莱姆法则说明：如果$A$是一个可逆矩阵（ $\det {A}\neq 0$ ），那么方程(1)有解 $x=(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})^{T}$，其中

$x_{i}={\det(A_{i}) \over \det(A)}$ (1)

当中$x_{i}$是列向量$x$的第i行（行向量与列向量不一样，解释默认列向量）

当中$A_{i}$是列向量$c$取代了$A$的第i列后得到的矩阵。为了方便，我们通常使用$\Delta$来表示$\det(A)$，用$\Delta _{i}$来表示$\det(A_{i})$。所以等式(1)可以写成为：

$x_{i}={\Delta _{i} \over \Delta }\,$。

抽象方程

更多信息：余因子矩阵

设$R$为一个环，$A$就是一个包含$R$的系数的$n\times n$矩阵。所以：

$\mathrm {adj} (A)A=\mathrm {det} (A)I\,$

当中$\det(A)$就是$A$的行列式，以及$I$就是单位矩阵。

证明概要

对于$n$元线性方程组 $Ax=c$

把系数矩阵 ${\begin{smallmatrix}A\end{smallmatrix}}$ 表示成行向量的形式

$A=\left(u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n}\right)$

由于系数矩阵可逆，故方程组一定有解$x^{*}=A^{-1}c$.

设$x^{*}=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})^{T}$，即

$Ax^{*}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}u_{k}=c$

考虑$\Delta _{i}$的值，利用行列式的线性和交替性质，有

${\begin{aligned}\Delta _{i}&=det\left(\cdots ,u_{i-1},c,u_{i+1},\cdots \right)\\&=det\left(\cdots ,u_{i-1},\sum _{k=1}^{n}x_{k}u_{k},u_{i+1},\cdots \right)\\&=\sum _{k=1}^{n}x_{k}\cdot det\left(\cdots ,u_{i-1},u_{k},u_{i+1},\cdots \right)\\&=x_{i}\cdot det\left(\cdots ,u_{i-1},u_{i},u_{i+1},\cdots \right)\\&=x_{i}\Delta \end{aligned}}$

于是

$x_{i}={\frac {\Delta _{i}}{\Delta }}$

例子

运用克莱姆法则可以很有效地解决以下方程组。

已知：

$ax+by={\color {red}e}\,$

$cx+dy={\color {red}f}\,$

使用矩阵来表示时就是：

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}$

当矩阵可逆时，x和y可以从克莱姆法则中得出：

$x={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}$

以及

$y={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}$

用3×3矩阵的情况亦差不多。

已知：

$ax+by+cz={\color {red}j}\,$

$dx+ey+fz={\color {red}k}\,$

$gx+hy+iz={\color {red}l}\,$

当中的矩阵表示为：

${\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}$

当矩阵可逆时，可以求出x、y和z：

$x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}$、   $y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}$   以及   $z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}$

微分几何上的应用

克莱姆法则在解决微分几何的问题时十分有用。

先考虑两条等式$F(x,y,u,v)=0\,$和$G(x,y,u,v)=0\,$。其中的u和v是需要考虑的变量，并且它们互不相关。我们可定义$x=X(u,v)\,$和$y=Y(u,v)\,$。

找出一条等式适合$\partial x/\partial u$是克莱姆法则的简单应用。

首先，我们要计算$F$、$G$、$x$和$y$的导数：

$dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0$

$dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0$

$dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv$

$dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv$

将$dx$和$dy$代入$dF$和$dG$，可得出：

$dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0$

$dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0$

因为$u$和$v$互不相关，所以$du$和$dv$的系数都要等于0。所以等式中的系数可以被写成：

${\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}$

${\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}$

${\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}$

${\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}$

现在用克莱姆法则就可得到：

${\cfrac {\partial x}{\partial u}}={\cfrac {\begin{vmatrix}-{\cfrac {\partial F}{\partial u}}&{\cfrac {\partial F}{\partial y}}\\-{\cfrac {\partial G}{\partial u}}&{\cfrac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\cfrac {\partial F}{\partial x}}&{\cfrac {\partial F}{\partial y}}\\{\cfrac {\partial G}{\partial x}}&{\cfrac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}$

用两个雅可比矩阵来表示的方程：

${\cfrac {\partial x}{\partial u}}=-{\cfrac {\left({\cfrac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\cfrac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}$

用类似的方法就可以找到${\frac {\partial x}{\partial v}}$、${\frac {\partial y}{\partial u}}$以及${\frac {\partial y}{\partial v}}$。

基本代数上的应用

克莱姆法则可以用来证明一些线性代数中的定理，当中的定理对环理论十分有用。

线性规划上的应用

克莱姆法则可以用来证明一个线性规划问题有一个基本整数的解。这样使得线性规划的问题更容易被解决。

缺点

克莱姆法则在电子计算机出现后，被认为是难以实际用于计算的。当使用克莱姆法则计算一个$n$阶线性方程组时，所需乘法次数为$(n+1)!$ 次。例如求解25阶线性方程组时，总计乘法次数需要$26!$（即4.03×10²⁶）次，若计算机每秒能计算100亿次，所需时间约12.79亿年。相比之下，高斯消元法只需3060次乘法，对计算机而言易如反掌。

${\displaystyle }$

外部链接

• Online calculator to solve a system of ecuations using the Cramer's Rule
• Systems Solver