在数学 里，海森堡群 是以维尔纳·海森堡 来命名的，为如下之三阶上三角矩阵 所组成的群 ：
(
1
a
c
0
1
b
0
0
1
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}
元素a 、b 、c 可以取成某种交换环 ，一般会取成实数 环或整数 环。
若a 、b 、c 为实数 ，则可得到一个连续海森堡群 H3 (R )。其为一个幂零 李群 。
若a 、b 、c 为整数，则可得到一个离散海森堡群 H3 (Z )。其为一个非阿贝尔 幂零群 ，有两个生成元
x
=
(
1
1
0
0
1
0
0
0
1
)
,
y
=
(
1
0
0
0
1
1
0
0
1
)
{\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}
并满足关系
z
=
x
y
x
−
1
y
−
1
,
x
z
=
z
x
,
y
z
=
z
y
{\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ xz=zx,\ yz=zy}
其中，
z
=
(
1
0
1
0
1
0
0
0
1
)
{\displaystyle z={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}
为 H3 中心 之生成元。（x-1 ，y-1 和z-1 即分别将x，y和z主对角线上的1改为-1）
依贝斯定理 所述，其有一个4目的多项式增长率 。
若取a 、b 、c 在Z /p Z 内，则可得到一个模 p 海森堡群 。其为p 3 目的群 ，其中有两个生成元x 和y ，满足关系
z
=
x
y
x
−
1
y
−
1
,
x
p
=
y
p
=
z
p
=
1
,
x
z
=
z
x
,
y
z
=
z
y
{\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\ xz=zx,\ yz=zy}
更一般性地，海森堡群 可以由任何一个辛向量空间 来建造。例如，令(V ,ω)为一个有限维实辛向量空间(故ω为于V 上之非退化 反对称 双线性形 )。在(V ,ω)(或简称V )上的海森堡群H (V )是一个附有群定律
(
v
1
,
t
1
)
⋅
(
v
2
,
t
2
)
=
(
v
1
+
v
2
,
t
1
+
t
2
+
1
2
ω
(
v
1
,
v
2
)
)
.
{\displaystyle (v_{1},t_{1})\cdot (v_{2},t_{2})=\left(v_{1}+v_{2},t_{1}+t_{2}+{\frac {1}{2}}\omega (v_{1},v_{2})\right).}
的集合。
海森堡群是加法群V 的中心扩张 。因此，会有一个正合序列
0
→
R
→
H
(
V
)
→
V
→
0.
{\displaystyle 0\to \mathbb {R} \to H(V)\to V\to 0.}
每一个辛向量空间都会允许有一个满足ω(e j f k j k 达布基 {e j f k 1 ≤ j ,k ≤ n 。以此一基来叙述，每个向量都可以分解成
v
=
q
a
e
a
+
p
a
f
a
.
{\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}.}
其中的q a p a 正则坐标 。
若{e j f k 1 ≤ j ,k ≤ n 是V 的一个达布基，然后令{E 为R 的一个基，则{e j f k E }1 ≤ j ,k ≤ n 会是V ×R 的一个对应的基。一个在H (V )内的向量
v
=
q
a
e
a
+
p
a
f
a
+
t
E
{\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+tE}
可以等同于下列矩阵
[
1
p
t
+
1
2
p
q
0
1
q
0
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&p&t+{\frac {1}{2}}pq\\0&1&q\\0&0&1\end{bmatrix}}}
因此便给出了一个H (V )的真实矩阵表示 。
Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91) , (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9 . 
