代数 (环论)

在数学中，交换环上的代数或多元环是一种代数结构，上下文不致混淆时通常迳称代数。

本页面中的环都是指有单位的环，并使用么环一词表示则是不一定有单位的环。

定义

给定一个交换环 $A$ 。

代数

给定一个四元组 $(E,+,.,\times )$ 。如果以下两个条件成立：

$(E,+,\cdot )$ 是一个 $A$ -模。
$\times$ $\times$ 是一个 $E$ $E$ 的内部运算（即 $\times :E\times E\rightarrow E$ $\times :E\times E\rightarrow E$ ），并且是 $A$ $A$ -双线性的。也就是说内部运算 $\times$ $\times$ 符合以下三点：
- $\forall x,y,z\in E,\qquad \qquad (x+y)\times z=x\times z+y\times z$
- $\forall x,y,z\in E,\qquad \qquad x\times (y+z)=x\times y+x\times z$
- $\forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)$

那么我们说四元组 $(E,+,\cdot ,\times )$ 是一个 $A$ 上的代数（或称 $A$ -代数），或简称集合 $E$ 是一个 $A$ -代数。

结合代数、有单位的代数、交换代数

设 $(E,+,\cdot ,\times )$ 为一个 $A$ -代数。

如果内部运算 $\times$ 符合结合律，那么我们说 $E$ 是一个结合代数。
如果内部运算 $\times$ 有一个单位元（即 $\exists 1_{E}\in E,\forall x\in E,1_{E}\times x=x=x\times 1_{E}$ ），那么此单位元是唯一的并且我们说 $E$ 是一个有单位的代数。
如果内部运算 $\times$ 符合交换律，那么我们说 $E$ 是一个交换代数。

注：有些作者用结合代数来称呼结合且有单位的代数，或是用交换代数来称呼结合、有单位且交换的代数。本页面使用上述段落给的定义而不采用这些称呼。

等价定义

一样给定一个交换环 $A$ 。

给定一个四元组 $(E,+,\cdot ,\times )$ 。这是一个 $A$ 上的结合代数（ $resp.$ 结合且有单位的代数、 $resp.$ 结合、有单位且交换的代数）当且仅当以下三个条件成立：

$(E,+,\cdot )$ 是一个 $A$ -模。
$(E,+,\times )$ 是一个环（ $resp.$ 一个幺环、 $resp.$ 一个交换环）。
$\times$ 是一个 $E$ 的内部运算（即 $\times :E\times E\rightarrow E$ ），并且是 $A$ -双线性的。

注：上述条件中的第三个条件在第一及第二条件成立下等价为：

$\times$ 是一个 $E$ 的内部运算（即 $\times :E\times E\rightarrow E$ ），并符合 $\forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)$

上述只是将最初定义重整理一次。然而我们可以用别种结构来理解结合且有单位的代数：

给定一个结合且有单位的 $A$ -代数 $E$ 就等于给定一个二元组 $(E,f)$ ：其中 $E$ 是一个环，而 $f:A\rightarrow E$ 是一个满足 $f(A)\subset Z(E)$ 的环同态。（ $Z(E)$ 代表环 $E$ 的中心，也就是 $Z(E)=\{x\in E:\forall y\in E,x\times y=y\times x\}$ ）。

原因是如果 $E$ 是一个结合且有单位的 $A$ -代数，那么 $E$ 是一个环并且 $f:a\in A\longmapsto a\cdot 1_{E}\in E$ 是一个环同态，满足 $f(A)\subset Z(E)$ 。反过来看，如果 $E$ 是一个环，而 $f:A\rightarrow E$ 是一个满足 $f(A)\subset Z(E)$ 的环同态，那么我们可以定义外部运算 $\cdot :A\times E\to E,(a,x)\longmapsto f(a)\times x$ （即 $a\cdot x{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f(a)\times x$ ）。 $E$ 上环的结构与此外部运算结构使其成为一个 $A$ -模并且成为一个结合且有单位的 $A$ -代数。

将上述性质套用在交换环上，我们便可得到结合、有单位且交换的代数的另一种看法：

给定一个结合、有单位且交换的 $A$ -代数 $E$ 就等于给定一个二元组 $(E,f)$ ：其中 $E$ 是一个交换环，而 $f:A\rightarrow E$ 是一个的环同态。

代数同态

设 $E,F$ 是 $A$ -代数， $A$ -模间的同态 $\phi :E\rightarrow F$ 被称作 $A$ -代数间的同态，当且仅当它满足 $\forall x,y\in E,\;\phi (xy)=\phi (x)\phi (y)$ 。因此所有 $A$ -代数构成一个范畴，也可以探讨代数间的同构。详阅主条目代数同态。

结构常数

设 $E$ 是 $A$ -代数。当 $E$ 是个自由的有限秩 $A$ -模（当 $A$ 为域且 $\dim _{A}E<\infty$ 时自动成立）时，可选定一组基底 $e_{1},\ldots ,e_{n}$ ，并将乘法写作

e_{i}e_{j}=\sum _{k}c_{ij}^{k}e_{k}\quad

（采用爱因斯坦记号）

此时常数 $c_{ij}^{k}\in A$ 称作 $E$ 对基底 $e_{1},\ldots ,e_{n}$ 的结构常数。

例子

对于 $n\geq 2$ ，矩阵环 ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$ 附上矩阵乘法是一个非交换但结合且有单位的 $\mathbb {R}$ -代数。
对二阶以上的矩阵环，假设域的特征不等于 2。定义新的乘法为 $\{X,Y\}=(XY+YX)/2$ ，此时得到一个交换、非结合、无单位的代数。这是一个约当代数的例子。
欧氏空间 $\mathbb {R} ^{3}$ 对其外积构成一个非交换、非结合且无单位的 $\mathbb {R}$ -代数。这是一个李代数的例子。
四元数 $\mathbb {H}$ 是一个非交换但结合且有单位的 $\mathbb {R}$ -代数。
八元数 $\mathbb {O}$ 是一个非交换、非结合但有单位的 $\mathbb {R}$ -代数。
考虑所有在正无穷有极限且极限为0的函数 $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 所形成的集合，附上一般的运算会是一个结合且交换但无单位的 $\mathbb {R}$ -代数。