用戶:李正一/連續映射定理 (1)

在概率論中，連續映射定理指出，連續函數是具有保持極限的性質的，即使他們的參數是一列隨機變量。 一個海涅定義下的連續函數是指將收斂數列映為收斂數列的函數：如果xn → x 那麼 g(xn) → g(x)。連續映射定理指出，如果我們把確定的數列{xn}替換為一列隨機變量 {Xn}，把通常的收斂定義替換為某種隨機變量的收斂定義，那麼這個命題依然成立。

這個定理第一次由 Mann & Wald (1943)證明，因此有時又被稱作 Mann–Wald定理。

聲明

我們{X_n}, X 是 隨機的因素的 定義為一個 公空間 S. 假設一個職能 g: S→S′ （ S' 另一個公空間）的一套 連貫性指 D_g 例如 Pr[X ∈ D_g] = 0. 那

1. $X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ g(X);$
2. $X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {p}}\ g(X);$
3. $X_{n}\ {\xrightarrow {\!\!as\!\!}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\!\!as\!\!}}\ g(X).$

證據

這一證據已通過的 （van der Vaart 1998，Theorem 2.3）

空間 S 和 S' 具備某些衡量標準。 為簡明起見，我們將表示了兩種衡量標準使用|x−y|註釋的，儘管衡量尺度可能是任意的，而不一定是歐式的

趨同的分配

我們需要一個特別的聲明 輯原理:大的程度上趨於一致，在分配 $X_{n}{\xrightarrow {d}}X$ 相當於

$\limsup _{n\to \infty }\operatorname {Pr} (X_{n}\in F)\leq \operatorname {Pr} (X\in F){\text{ for every closed set }}F.$

修好任意關閉的設 F⊂S'的。 表示由 g^-1的(F)預的形象 F 根據繪圖 g：制定的所有要點的 x ∈ S 此 g(x)∈F了 考慮一系列{x_k} g(x_k) ∈ F 和 x_k → x的。 那麼這個序列的在於 g^-1的(F)及其限制了點 x 屬於 關閉 這個確定， g^-1的(F) (通過定義，《關閉的)。 重點 x 可能：

• 一項連續性的觀點， g，在這種情況下， g(x_k) 為 g(x)，因此 g(x)∈F 因為 F 是要封閉的，因此在這種情況下 x 屬於前形象的 F，或
• 一個不連續的觀點， g，以便 x ∈ D_g的。

因此，下面關係的：

${\overline {g^{-1}(F)}}\ \subset \ g^{-1}(F)\cup D_{g}\ .$

考慮的活動{g(X_n)∈F}的規定。 可能這次活動可估計如

$\operatorname {Pr} {\big (}g(X_{n})\in F{\big )}=\operatorname {Pr} {\big (}X_{n}\in g^{-1}(F){\big )}\leq \operatorname {Pr} {\big (}X_{n}\in {\overline {g^{-1}(F)}}{\big )},$

和由輯原理的 limsup 的最後言論的是少於或等於Pr(X ∈ g^-1的(F)段）。 使用公式產生上段所述，這可以寫作