艾里函數(Ai(x)),英國英格蘭天文學家、數學家喬治·比德爾·艾里命名的特殊函數,他在1838年研究光學的時候遇到了這個函數。Ai(x)的記法是Harold Jeffreys引進的。Ai(x)與相關函數Bi(x)(也稱為艾里函數),是以下微分方程的解:
![{\displaystyle y''-xy=0,\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc575f4be00ed70c621f580056030f7fd3fe9388)
這個方程稱為艾里方程或斯托克斯方程。這是最簡單的二階線性微分方程,它有一個轉折點,在這一點函數由周期性的振動轉變為指數增長(或衰減)。
Ai(x)(紅色)和Bi(x)(藍色)的圖像
對於實數x,艾里函數由以下的積分定義:
![{\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89f242f66c55391c62c9828279740198ea3f2ca)
雖然這個函數不是絕對可積的(當t趨於+∞時積分表達式不趨於零),這個廣義積分還是收斂的,因為它快速振動的正數和負數部分傾向於互相抵消(這可以用分部積分法來檢驗)。
把:
求導,我們可以發現它滿足以下的微分方程:
![{\displaystyle y''-xy=0.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0fcd55abc8b80172a00219f3eb0ddb61f87838d)
這個方程有兩個線性獨立的解。除了:
以外,另外一個解稱為第二艾里函數,記為
。它定義為當x趨於−∞時,振幅與
相等,但相位與
相差
的函數:
![{\displaystyle \mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\ e^{\left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)}+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56f2c4b70b2289de0c71a9bdfd2da1f06d4a566)
時,
和
以及它們的導數的值為:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{9}}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{{\sqrt[{3}]{3}}\Gamma ({\frac {1}{3}})}},\\\mathrm {Bi} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{6}]{3}}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Bi} '(0)&{}={\frac {\sqrt[{6}]{3}}{\Gamma ({\frac {1}{3}})}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96cc629af0265d0f158116541aa3776bc8e0d98)
在這裏,
表示伽瑪函數。可以推出Ai(x)和Bi(x)的朗斯基行列式是
。
當x是正數時,Ai(x)是正的凸函數,指數衰減為零,Bi(x)也是正的凸函數,但呈指數增長。當x是負數時,Ai(x)和Bi(x)在零附近振動,其頻率逐漸上升,振幅逐漸下降。這可以由以下艾里函數的漸近公式推出。
漸近公式[編輯]
當x趨於+∞時,艾里函數的漸近表現為:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86691fd34bbfa7eac4bc030c04884b32b00a1d1)
而對於負數方向的極限,則有:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (-x)&{}\sim {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25db95e77da9a6b3ddefefc59d0721e2bc254e84)
這些極限的漸近展開式也是可以得到的[1]。
自變量是複數時的情形[編輯]
我們可以把艾里函數的定義擴展到整個複平面:
![{\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\frac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03a394fd7865ebcaf33dbbd5d6fc6b4aa417d40)
其中積分路徑
從輻角為-(1/3)π的無窮遠處的點開始,在輻角為(1/3)π的無窮遠處的點結束。此外,我們也可以用微分方程
來把Ai(x)和Bi(x)延拓為複平面上的整函數。
以上Ai(x)的漸近公式在複平面上也是正確的,如果取主值為x2/3,且x不在負的實數軸上。Bi(x)的公式也是正確的,只要x位於扇形{x∈C : |arg x| < (1/3)π−δ}內,對於某個正數δ。最後,Ai(−x)和Bi(−x)是正確的,如果x位於扇形{x∈C : |arg x| < (2/3)π−δ}內。
從艾里函數的漸近表現可以推出,Ai(x)和Bi(x)在負的實數軸上都有無窮多個零點。Ai(x)在複平面內沒有其它零點,而Bi(x)在扇形{z∈C : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}內還有無窮多個零點。
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與其它特殊函數的關係[編輯]
當自變量是正數時,艾里函數與變形貝索函數之間有以下的關係:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\,K_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),\\\mathrm {Bi} (x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76c92c973504770dc178b5ab25f406840895dda)
在這裏,I±1/3和K1/3是方程
的解。
當自變量是負數時,艾里函數與貝索函數之間有以下的關係:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}={\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left(J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right),\\\mathrm {Bi} (-x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7affec499c42c54459a4fffd50ec416d58eab8de)
在這裏,J±1/3是方程
的解。
Scorer函數是
的解,它也可以用艾里函數來表示:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30a652868daf421d79f1f938712cb6dd8639fec)
或是利用超幾何函數,
![{\displaystyle \operatorname {Gi} (z)\equiv {\frac {1}{3}}\operatorname {Bi} (z)-{\frac {z^{2}}{2\pi }}{_{1}F_{2}}(1;4/3,5/3;z^{3}/9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec28467d4581506f5139063e2fa390119e1c06c7)
![{\displaystyle \operatorname {Hi} (z)\equiv {\frac {2}{3}}\operatorname {Bi} (z)+{\frac {z^{2}}{2\pi }}{_{1}F_{2}}(1;4/3,5/3;z^{3}/9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e5e65f76dad52ce8c1a08c22eabe4bcd7deeb7)
參考文獻[編輯]
- ^ 參看Abramowitz and Stegun, 1954 和 Olver, 1974。
外部連結[編輯]