有界函數

在數學中，如果在某個集合 $X$ 上定義的具有實數或複數值的某個函數 $f$ 的值域是有界集合，則函數 $f$ 被稱為有界的（或有界函數）。換句話說，存在實數 $M>0$ ，使得對於集合 $X$ 中的所有 $x$ ，都有 $|f(x)|\leq M$ 。有時，如果對於集合 $X$ 中的所有 $x$ ，都有 $f(x)\leq A$ ，則函數 $f$ 稱為上有界的， $A$ 就是它的一個上界；如果對於集合 $X$ 中的所有 $x$ ，都有 $f(x)\geq B$ ，則函數稱為下有界的， $B$ 就是它的一個下界。

一個特例是有界數列，其中 $X$ 是所有自然數所組成的集合 $\mathbb {N}$ 。所以，一個數列 $f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ 是有界的，如果存在一個數 $M>0$ ，使得對於所有的自然數 $n$ ，都有 $\left\vert a_{n}\right\vert \leq M$ 。

例子

由 $f(x)=\sin x$ 所定義的函數 $f:R\rightarrow R$ 是有界的。如果正弦函數是定義在所有複數的集合上，則不再是有界的。
函數 $f(x)={\frac {1}{x^{2}-1}}$ （ $x$ 不等於−1或1）是無界的。當 $x$ 越來越接近−1或1時，函數的值就變得越來越大。但是，如果把函數的定義域限制為 $[2,\infty )$ ，則函數就是有界的。