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招差術

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招差術是中國古代數學中的多項式插值秦九韶稱為「招法」,「招差」一詞為元代數學家、曆法家王恂首創。元代數學家朱世傑在《四元玉鑒》多次使用招差術。卷中《如像招數》第五問給出世界上最早的四次內插公式[1]

秦九韶招法

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秦九韶在《數書九章》中多次使用二次插值法。

《數書九章》卷十三 《計造石壩》

術曰:以商工求之,以招法入之

《數書九章》卷三 《綴術推星》也使用自變數不等間二次內插法(招差)。[2]

郭守敬王恂招差術

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郭守敬和王恂在《授時曆》中大量使用三次內插法,他稱為「招差」[3]。王恂推廣隋唐時代二次內插法(盈不足術)為三次內插法(招差術),用以計算太陽盈縮,太陰遲疾的差分,定差,平差,立差,並歸納出平立定三差計算公式。

視入歷盈者,在盈初縮末限已下,為初限,已上,反減半歲周,余為末限;縮者,在縮初盈末限已下,為初限,已上,反減半歲周,余為末限。其盈初縮末者,置立差三十一,以初末限乘之,加平差二萬四千六百,又以初末限乘之,用減定差五百一十三萬三千二百,余再以初末限乘之,滿億為度,不滿退除為分秒。縮初盈末者,置立差二十七,以初末限乘之,加平差二萬二千一百,又以初末限乘之,用減定差四百八十七萬六百,余再以初末限乘之,滿億為度,不滿退除為分秒,即所求盈縮差。[4]

  • 令 a 代表定差
  • 令 b 代表平差
  • 令 c 代表立差
  • 令 k 代表初末限
盈縮差=[5]

朱世傑招差術

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朱世傑四元玉鑒》多次使用招差術。卷中《如像招數》第五問給出世界上最早的四次內插公式[1]

今有官司依立方招兵,初招方面三尺,次招方面轉多一尺,得數為兵,今招一十五方,每人日支錢二百五十文,問兵及支錢各幾何。或問還原:依立方招兵,初招方面三尺,次招方面轉多一尺,得數為兵。今招一十五日,每人日支錢二百五十文,問招兵及支錢幾何?
答曰:兵二萬三千四百人,錢二萬三千四百六十二貫。
術曰求得上差二十七,二差三十七,三差二十四,下差六
求兵者,今招為上積,又今招減一為茭草底子積為二積,又今招減二為三角底子積,又今招減三為三角一積為下積。以各差乘各積,四位並之,即招兵數也。

[6]

先求出上差(一次差),二差(二次差),三差(三次差)和下差(四次差),然後求出答案,是四次插值法(招差術)的運用[7]

日數 支錢累計數 每日支錢 招兵累計數 上差(每日招兵數) 二差 三差 下差
1 6.75 6.75 27 27
2 29.5 22.75 91 64 37
3 83.5 54 216 125 61 24
4 191.5 108 432 216 91 30 6
5 385.25 193.75 775 343 127 36 6


招兵累計數=

[8]

其中

  • a=上差
  • b=二差
  • c=三差
  • d=下差

梅文鼎

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清代數學家梅文鼎著有《平立定三差詳說》,詳解《授時曆》的平定立三差法。[9]

參考文獻

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引用

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  1. ^ 1.0 1.1 孔國平 439-444
  2. ^ 李儼 350-356
  3. ^ 吳文俊 169 頁
  4. ^ 元史 卷54 志第6 曆三
  5. ^ 李儼 369-370
  6. ^ 朱世傑 113頁>
  7. ^ 李儼 《中國算法對內插法定應用》375-382
  8. ^ 孔國平 440-441
  9. ^ 李儼.錢寶琮383 385頁

來源

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書籍
  • 李儼. 《中算家电的内插法研究》. 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷二. 遼寧教育出版社. 1998. ISBN 978-7-538-24807-4. 
  • 孔國平. 《李冶朱世杰与金元数学》. 河北科學技術出版社. 2000. ISBN 978-7-537-51884-0. 
  • 朱世傑. 《四元玉鉴校证》. 李兆華 校證. 科學出版社. 2007. ISBN 978-7-030-20112-6. 
  • 吳文俊 主編 (編). 朱世杰的数学成就. 《中国数学史大系》 第六卷 第四编. : 206–280. ISBN 7-303-04927-4/O 請檢查|isbn=值 (幫助).