幻方

幻方，有時又稱魔術方陣（其簡稱「魔方」現一般指立方體的魔術方塊）或縱橫圖，由一組排放在正方形中的整數組成，其每行、每列以及每一條主對角線的和均相等。通常幻方由從 $1$ 到 $N^{2}$ 的連續整數組成，其中 $N$ 為正方形的行或列的數目。因此 $N$ 階幻方有 $N$ 行 $N$ 列，並且所填充的數為從 $1$ 到 $N^{2}$ 。

幻方可以使用 $N$ 階方陣來表示，方陣的每行、每列以及兩條對角線的和都等於常數 $M_{2}(N)$ ，如果填充數為 $1,2,\dots ,N^{2}$ ，那麼有

M_{2}(N)={\frac {N(N^{2}+1)}{2}}

幻方簡史

《繫辭》云：「河出圖，洛出書，聖人則之。」在宋朝之前，洛書的記述只有文字。

九宮圖實物最早發現於西漢，1977年中國考古學家在安徽阜陽縣雙古堆西漢古墓中發現漢文帝七年（前173年）的太乙九宮占盤，乃是中國漢代幻方的實物。東漢《數術記遺》也有記載。

後來陳摶以降認為河圖洛書的洛書代表九宮圖，為 $1,\dots ,9$ 這 $9$ 個數，而 $3$ 行、 $3$ 列以及兩對角線上各自的數之和均為15。

楊輝縱橫圖

南宋數學家楊輝著《續古摘奇算法》把類似於九宮圖的圖形命名為縱橫圖，書中列舉3、4、5、6、7、8、9、10階幻方。其中所述三階幻方構造法：「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足」，比法國數學家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百餘年。

構造法

根據構造方法的不同，幻方可以分成三類：奇數階幻方、 $4k$ 階幻方和 $4k+2$ 階幻方，其中 $M$ 為自然數， $2$ 階幻方不存在。幻方構造法主要有：連續擺數法、階梯法（樓梯法）、奇偶數分開的菱形法、對稱法、對角線法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊爾法（基方、根方合成法）、鑲邊法、相乘法、幻方模式等。

奇數階幻方構造法

右斜角降位法1

假設要建構n階幻方，n為奇數。

先在第一橫列中央的方格填入1。
向右上方的格子推進，依次填入2、3、4、…、n²，若超過方陣框外，則將數字填入到該橫列或該直行的相對位置。
若右上方的格子已有數字，則將數字填入下面的格子中。

以下圖 $5$ 階幻方為例， $1$ 填寫在 $(1,3)$ （第一行第三列）的位置上； $2$ 應當填寫在其右上方格即 $(0,4)$ 中，由於 $(0,4)$ 超出頂邊界，所以從最底行進入，即 $(5,4)$ ； $3$ 填寫在 $(5,4)$ 的右上方格 $(4,5)$ 中； $4$ 填寫在 $(4,5)$ 的右上方格 $(3,6)$ 中，由於 $(3,6)$ 超出右邊界，所以從最左列進入，即 $(3,1)$ ； $5$ 填寫在 $(3,1)$ 的右上方格 $(2,2)$ 中； $6$ 應該填寫的方格 $(1,3)$ 已經被 $1$ 所佔據，因此填寫在 $(2,2)$ 的正下方格 $(3,2)$ 中；按照上面的步驟直到所有數填入。

${\begin{bmatrix}8&1&6\\3&5&7\\4&9&2\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}17&24&1&8&15\\23&5&7&14&16\\4&6&13&20&22\\10&12&19&21&3\\11&18&25&2&9\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}47&58&69&80&1&12&23&34&45\\57&68&79&9&11&22&33&44&46\\67&78&8&10&21&32&43&54&56\\77&7&18&20&31&42&53&55&66\\6&17&19&30&41&52&63&65&76\\16&27&29&40&51&62&64&75&5\\26&28&39&50&61&72&74&4&15\\36&38&49&60&71&73&3&14&25\\37&48&59&70&81&2&13&24&35\end{bmatrix}}$
$3$ 階	$5$ 階	$9$ 階

魔方陣不是唯一的，比如5階魔方陣還可以是：

{\begin{bmatrix}15&6&19&2&23\\16&12&25&8&4\\9&5&13&21&17\\22&18&1&14&10\\3&24&7&20&11\end{bmatrix}}

5

階

右斜角降位法2

假設要建構n階幻方，n為奇數。

先在第一橫列中央的方格填入1。
向「右(n-1)/2格、上(n-1)/2格」的格子推進，依次填入2、3、4、…、n²，若超過方陣框外，則將數字填入到該橫列或該直行的相對位置。
若右上方的格子已有數字，則將數字填入下面的格子中。

右斜角升位法

假設要建構n階幻方，n為奇數。

先在中央格的正上方一格的方格填入1。
向右上方的格子推進，依次填入2、3、4、…、n²，若超過方陣框外，則將數字填入到該橫列或該直行的相對位置。
若右上方的格子已有數字，則將數字填入上面兩格的格子中。

菱形法

假設要建構n階幻方，n為奇數。

先以對角線為兩邊，做一個包含n階方陣的菱形方陣，此方陣總共有2n²-2n+1（第n個中心正方形數）個格子。
從這個菱形方陣中的最上方的尖端格子，由左上往右下，再由右上往左下，依次填入1、2、3、4、…、n²。
將原先方陣上側外的格子向下平行移動n格，填入原方陣的空格處，相同的步驟，若格子是在下側，往上移，若格子是在左側，往右移，若格子是在右側，往左移。

偶數階幻方構造法

$4k$ 階幻方構造法

消去對角線法

將1、2、3、4、…、n²由上到下、再由左到右，依次填入。
將方陣以四階方陣為單位分割（可分割成n²個四階方陣），然後在每個四階方陣中，對角線上的數字擦掉。
把擦掉的數字由大的數開始，由上到下、再由左到右，依次填入。

保留對角線法

假設要建構n階幻方，n為4的倍數。

將1、2、3、4、…、n²由上到下、再由左到右，依次填入。
將方陣以四階方陣為單位分割（可分割成n²個四階方陣），然後在每個四階方陣中，不在對角線上的數字擦掉。
把擦掉的數字由大的數開始，由上到下、再由左到右，依次填入。

如4階幻方的排列法：
${\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}}$
按如上圖排列好，再將非主副對角線上的各個數關於中心對調，即成下圖：
${\begin{bmatrix}1&15&14&4\\12&6&7&9\\8&10&11&5\\13&3&2&16\end{bmatrix}}$
八階幻方構造如下
$\left[{\begin{array}{cccc|cccc}\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup \\\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar \\\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar \\\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown \\\hline \diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup \\\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar \\\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar \\\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown \\\end{array}}\right]$
即：
${\begin{bmatrix}1&63&62&4&5&59&58&8\\56&10&11&53&52&14&15&49\\48&18&19&45&44&22&23&41\\25&39&38&28&29&35&34&32\\33&31&30&36&37&27&26&40\\24&42&43&21&20&46&47&17\\16&50&51&13&12&54&55&9\\57&7&6&60&61&3&2&64\end{bmatrix}}$

$4k+2$ 階幻方構造法

LUX法

在(4M+2)×(4M+2）個方格的適當格點上，先排出2M+1階的幻方。在前M+1行的格點，全部標上「L」；在第M+1行的中間格點標上「U」，其餘格點標上「L」；在第M+2行的中間格點標上「L」，其餘格點標上「U」；在餘下的M-1行的格點全部標上「X」。將格點上的數乘以4再減4，再按下面的規則加上1至4其中一個數，填入對應的格上：

 4 1    1 4    1 4
  L      U      X
 2 3    2 3    3 2

例子：

[ 68  65  96  93   4   1  32  29  60  57 ]
   17L     24L      1L      8L     15L
[ 66  67  94  95   2   3  30  31  58  59 ]

[ 92  89  20  17  28  25  56  53  64  61 ]
   23L      5L      7L     14L     16L
[ 90  91  18  19  26  27  54  55  62  63 ]

[ 16  13  24  21  49  52  80  77  88  85 ]
    4L      6L     13U     20L     22L
[ 14  15  22  23  50  51  78  79  86  87 ]

[ 37  40  45  48  76  73  81  84  9   12 ]
   10U     12U     19L     21U      3U
[ 38  39  46  47  74  75  82  83  10  11 ]

[ 41  44  69  72  97  100  5  8   33  36 ]
   11X     18X     25X      2X      9X
[ 43  42  71  70  99  98   7  6   35  34 ]

斯特拉奇法

任何階數的幻方都適用的構造法

艾歆緹雅法

此方法可用來建構任何階數的幻方，當要建構n階幻方時，使用兩個方陣，一個填入正整數1到n各n次，另一個則填入0、n、2n、3n、…、(n-1)*n各n次，儘管奇數階幻方與偶數階幻方的填入方式有所不同。

對於奇數階幻方：

第一個方陣：在第一橫列中央的方格填入1，並且往左下角不斷填入1，若超出方陣外，則向右平移n格，直到每一橫列都有一個方格填入1為止，再把所有填入1的方格右邊的格子填入2（若超出方陣外，則向左平移n格），再把所有填入2的方格右邊的格子填入3，一直到填入n為止。

第二個方陣：在第一直行中央的方格填入0，並且往右下角不斷填入1，若超出方陣外，則向上平移n格，直到每一直行都有一個方格填入0為止，再把所有填入0的方格右邊的格子填入n（若超出方陣外，則向上平移n格）。再把所有填入n的方格右邊的格子填入2n，一直到填入(n-1)*n為止。

再把兩個方陣中的數相加。

事實上，你可以將這兩個方陣中的每一個相同數字都替換為另一個數字，只要這兩個方陣中原本有出現的n個數字都仍然各出現n次即可，唯一的條件是第一個方陣中(n+1)/2這個數字，以及第二個方陣中(n-1)*n/2這個數字，不能被替換。

對於偶數階幻方：

第一個方陣：第一直行由上到下依次填入1到n，第二直行由下到上依次填入1到n，第三直行與第二直行相同，第四直行與第一直行相同，若超過四直行，則重複第一到第四直行的步驟。

第二個方陣：第一橫列由上到下依次填入0到n*(n-1)，第二橫列由下到上依次填入0到n*(n-1)，第三橫列與第二橫列相同，第四橫列與第一橫列相同，若超過四橫列，則重複第一到第四橫列的步驟。

此方法暫時只適用於4k階的幻方。

事實上，你可以將這兩個方陣中的每一個相同數字都替換為另一個數字，只要這兩個方陣中原本有出現的n個數字都仍然各出現n次即可，唯一的條件是第一個方陣中每個直行相對的兩個數字之和必須是n+1，以及第二個方陣中每個橫列相對的兩個數字之和必須是n*(n-1)。

如果是4k+2階的幻方，就必須在第二個方陣中，檢查每個直行相對的兩個數字之和為n*(n-1)的格子，對於這些格子，第一個方陣的對應格子。

加邊法

當n為大於等於5的正整數時，此方法可由n-2階幻方外圍加上一圈來構造n階幻方。

以 $6$ 階為例子，先排出 $4$ 階的幻方，如上圖，再將圖中每一個數都加上 $8m+2=10$ ，有下圖：
${\begin{bmatrix}11&25&24&14\\22&16&17&19\\18&20&21&15\\23&13&12&26\end{bmatrix}}$

在外圍加上一圈格子，把 $1,2,3,\dots ,8m+2$ 和 $16m^{2}+8m+3,16m^{2}+8m+4,\dots ,(4m+2)^{2}$ 這些數安排在外圈格子內，但要使相對兩數之和等於 $16m(m+1)+5$ 。對於 $m=1$ 這些數是： $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ ； $27,28,29,30,31,32,33,34,35,36$ 。
結果如下：
${\begin{bmatrix}1&9&34&33&32&2\\6&11&25&24&14&31\\10&22&16&17&19&27\\30&18&20&21&15&7\\29&23&13&12&26&8\\35&28&3&4&5&36\end{bmatrix}}$

方陣合成法

當n可以分解成兩個大於等於3的正整數a與b的乘積時，此方法可由a階幻方與b階幻方來構造n階幻方。

以a(k)表示a階幻方中的每一個數字加上k*a²的結果，則所有的a(k)都是幻方，且a(0)=原本的a階幻方。
將b階幻方中的數字k都用幻方a(k-1)取代。

編程語言參考實現

include<stdio.h>

int a[17],b[17],m; void s(int i) { /*搜索全部四階幻方，C代碼,運行時間7秒*/

   int n=0,j=0;
   while(++j<17)
       if(!a[j])
       {
           a[b[i]=j]=1;
           switch(i)
           {
               case 1:case 2:case 3:case 5:case 6:case 7:case 9:case 10:s(i+1);break;
               case 11:if(b[6]+b[7]+b[10]+b[11]==34)s(12);break;
               case 4:case 8:case 12:if(b[i-3]+b[i-2]+b[i-1]+b[i]==34)s(i+1);break;
               case 13:if(b[1]+b[5]+b[9]+b[13]==34&&b[4]+b[7]+b[10]+b[13]==34)s(14);break;
               case 14:case 15:if(b[i-12]+b[i-8]+b[i-4]+b[i]==34)s(i+1);break;
               case 16:for(printf("\n"),++m;++n<17;n%4?0:printf("\n"))printf("%2d ",b[n]);
            }
            a[j]=0;
       }

} int main(void) {

   s(1);
   printf("四階幻方總數量:%d(含旋轉反射相同)",m);
   return 0;

}

四階幻方全解搜索(C/C++)^[1]^{[需要較佳來源]}

#include<stdio.h>
int a[17],b[17],m;
void s(int i)
{  /*搜索全部四階幻方，C代碼,運行時間7秒*/
    int n=0,j=0;
    while(++j<17)
        if(!a[j])
        {
            a[b[i]=j]=1;
            switch(i)
            {
                case 1:case 2:case 3:case 5:case 6:case 7:case 9:case 10:s(i+1);break;
                case 11:if(b[6]+b[7]+b[10]+b[11]==34)s(12);break;
                case 4:case 8:case 12:if(b[i-3]+b[i-2]+b[i-1]+b[i]==34)s(i+1);break;
                case 13:if(b[1]+b[5]+b[9]+b[13]==34&&b[4]+b[7]+b[10]+b[13]==34)s(14);break;
                case 14:case 15:if(b[i-12]+b[i-8]+b[i-4]+b[i]==34)s(i+1);break;
                case 16:for(printf("\n"),++m;++n<17;n%4?0:printf("\n"))printf("%2d ",b[n]);
             }
             a[j]=0;
        }
}
int main(void)
{
    s(1);
    printf("四階幻方總數量:%d(含旋轉反射相同)",m);
    return 0;
}

奇數階幻方算法的Java語言實現

/**
* @author: contribute to wikipedia according GNU
* @description:用於創建奇數階的幻方
*/

public class magic_squre_odd {
       static int[][]  matrix;
       static int   n;
       public static void magic_squre_odd_generate()
       { matrix = new int[n][n];
         //所有的數初始化為0

         matrix[0][(n-1)/2] = 1;
         int x = 0,y = (n-1)/2;

         //count:記住已經插入過的數
          for(int count = 2; count<=n*n;count++)
          while(true)
          {
          //先x-1 y+1
        	  x--;
        	  y++;

        	  //判斷是否可以插入
          	  while(true)
                 {//循環判斷是否越界，直到一個地方不越界為止
                    //判斷是否越界：
                    //越上界x<0，則移到最下方x=x+n，y不變; continue
                   if(x<0)
                   {
                   	x += n;
                   	continue;
                   }

                   //越右界y>=n，則y=y-n，x不變;continue
                   if(y>=n)
                   {
                   	y -= n;
                   	continue;
                   }

        	    //循環判斷是否該位置已經有數據，直到找到一個空位
                      //如果有數據，則移到x = x + 2;y = y - 1; continue
                   if (y<0){y+=n;continue;}
                   if(matrix[x][y] != 0 )
                   {
                   	x += 2;y -= 1;
                   	if (x>=n){x-=n;continue;}
                   	if (y<0){y+=n;continue;}
                   	continue;
                   }
                   break;
                 }

                 //將當前的count值賦給選出的空位
                      matrix[x][y]= count;
                      break;
         }
       }

       public static void print()
       {
        	for(int i = 0; i < n; i++)
        	{
        		for(int j = 0; j < n; j++)
        	    {
        			//System.out.println(matrix[i][j]);
        			System.out.print(matrix[i][j]);
        			System.out.print("_");
        	    }
        		System.out.println();
        	}
       }

       public  static void main(String[] args)
       {   //手工輸入n的值，並確保為奇數
             n = 11;
           magic_squre_odd_generate();
           print();
       }
}

以下是本算法將n設置為11時得出的11階幻方的構造結果：

68 81 94 107 120 1 14 27 40 53 66
80 93 106 119 11 13 26 39 52 65 67
92 105 118 10 12 25 38 51 64 77 79
104 117 9 22 24 37 50 63 76 78 91
116 8 21 23 36 49 62 75 88 90 103
7 20 33 35 48 61 74 87 89 102 115
19 32 34 47 60 73 86 99 101 114 6
31 44 46 59 72 85 98 100 113 5 18
43 45 58 71 84 97 110 112 4 17 30
55 57 70 83 96 109 111 3 16 29 42
56 69 82 95 108 121 2 15 28 41 54

$4$ 階幻方算法的Java語言實現

 /**
 * @author: contribute to wikipedia according GNU
 * @description:用於創建4階的幻方
 *
 */

 public class magic_square_4m {

 	/**
 	 * @param args
 	 */
 	static int  matrix[][];
 	static int   n;

 	static void magic_squre_4m_generate()
 	{
 	  //初始化matrix
 		matrix = new int[n][n];

 	  //將matrix裡的位置用數順序排列
 	  int ini = 0;
 	  for(int i = 0; i < n; i++)
 		  for(int j = 0; j < n; j++)
 			  matrix[i][j] = ++ini;
 		
 	  //輸出對調前的樣子
 	  System.out.println("對調之前的樣子：");
 	  print();
 	
 	  //然後對調（僅對右上方的數進行遍歷）
 	  for(int i = 0; i < n; i++)
 	      for(int j = i + 1; j < n; j++)
 	      {
 	    	  if(( i != j) && (i + j) != (n -1) )
 	    	  {   //對不在主付對角線上的數關於中心對調
 	    		  int temp;
 	    		  temp = matrix[i][j];
 	    		  matrix[i][j] = matrix[n -1 - i][n - 1 - j];
 	    		  matrix[n -1 - i][n - 1 - j] = temp;
 	    	  }
 		  }
 	}
 	
 	public static void print()
 	{
 		for(int i = 0; i < n; i++)
 		{
 			for(int j = 0; j < n; j++)
 		    {
 				System.out.print(matrix[i][j]);
 				System.out.print("_");
 		    }
 			System.out.print("\n");
 		}
 	}
 	
 	public static void main(String[] args) {
         //這裡手動設置n的數值為4，這裡只能設置為4，因為只求4階幻方	
 		n = 4;
 		magic_squre_4m_generate();
 		System.out.println("對調之後的樣子：");
 		print();
 	}
 }

以下是本算法輸出的結果：

對調之前的樣子：
1_2_3_4_
5_6_7_8_
9_10_11_12_
13_14_15_16_
對調之後的樣子：
1_15_14_4_
12_6_7_9_
8_10_11_5_
13_3_2_16_

研究價值

知名華人數學家陳省身曾在數學演講中說幻方只是一個奇蹟，它在數學中沒有引起更普遍深刻的影響，不屬於「好的數學」。^[2]

對幻方的學習和研究一直局限於趣味數學本身，更接近數字遊戲或文字遊戲，缺乏與主流數學的聯繫(和璇璣圖在中國詩歌中的地位有一些相似)。數學和物理中也有具有更多學術價值的特殊數字方陣，如推動了試驗設計研究的拉丁方陣和已有應用的阿達瑪矩陣，還有在量子力學中有重要價值的泡利矩陣及其推廣版本蓋爾曼矩陣。魔術方塊則可以與群論建立聯繫(見魔方群)，可以作為抽象代數的入門教具，也是計算群論的研究案例之一，並非單純的幾何玩具。高性能的計算機誕生後，幻方、幻星、素數環(prime ring problem)等很多這類需要滿足特殊規律的填數問題，只要所需的數字規模不大，都可以考慮通過深度優先搜索算法暴力求解和枚舉。

藝術與流行文化

德國畫家與雕刻家阿爾布雷希特·丟勒曾在一幅名作《憂鬱》(Melencolia I)的角落中畫下一個幻方。這個著名的幻方圖也被知名工程數學軟件MATLAB加入自己的幫助文檔中。^{[來源請求]}

參見

參考資料

引用

^ "所有四阶幻方". [2017-01-11]. （原始內容存檔於2017-01-13）（中文（中國大陸））.
^ 黃且圓. 陈省身：如何做“好的数学”. 2015年3月2日 [2019年9月29日]. （原始內容存檔於2019年9月29日）（中文（中國大陸））. 可惜幻方只是一個奇蹟，它在數學中沒有引起其他更普遍深刻的影響。相反地，另外一個奇蹟，所有的圓、圓的周長和它的直徑之比都是一個不變的數，數學上稱之為圓周率，記作。這個結果可重要了，因為這個數滲透了整個數學！...幻方只是一個偶然現象，雖很巧妙，但不屬於好的數學。 |journal=被忽略 (幫助)

延伸閱讀

高治源. 九宫图探秘. 香港天馬圖書有限公司. 2004 （中文（香港））.
張道鑫. 素数幻方. 香港天馬圖書有限公司. 2003 （中文（香港））.
李杭強. 趣味数学幻方. 香港天馬圖書有限公司. 2002 （中文（香港））.
林正祿. 开拓智力的奇方——幻方. 香港天馬圖書有限公司. 2001 （中文（香港））.

外部連結

[1] "所有四阶幻方". [2017-01-11]. （原始內容存檔於2017-01-13）（中文（中國大陸））.

[2] 黃且圓. 陈省身：如何做“好的数学”. 2015年3月2日 [2019年9月29日]. （原始內容存檔於2019年9月29日）（中文（中國大陸））. 可惜幻方只是一個奇蹟，它在數學中沒有引起其他更普遍深刻的影響。相反地，另外一個奇蹟，所有的圓、圓的周長和它的直徑之比都是一個不變的數，數學上稱之為圓周率，記作。這個結果可重要了，因為這個數滲透了整個數學！...幻方只是一個偶然現象，雖很巧妙，但不屬於好的數學。 |journal=被忽略 (幫助)

[1]

[2]

權威控制資料庫
各地	法國 BnF data 德國以色列美國日本捷克
學術	AAT
其他	IdRef

幻方簡史

楊輝縱橫圖

構造法

奇數階幻方構造法

右斜角降位法1

右斜角降位法2

右斜角升位法

菱形法

偶數階幻方構造法

4 k {\displaystyle 4k} 階幻方構造法

消去對角線法

保留對角線法

4 k + 2 {\displaystyle 4k+2} 階幻方構造法

LUX法

斯特拉奇法

任何階數的幻方都適用的構造法

艾歆緹雅法

加邊法

方陣合成法

編程語言參考實現

四階幻方全解搜索(C/C++)[1][需要較佳來源]

奇數階幻方算法的Java語言實現

4 {\displaystyle 4} 階幻方算法的Java語言實現

研究價值

藝術與流行文化

參見

參考資料

引用

延伸閱讀

外部連結

$4k$ 階幻方構造法

$4k+2$ 階幻方構造法

四階幻方全解搜索(C/C++)^[1]^{[需要較佳來源]}

$4$ 階幻方算法的Java語言實現