多項式環

在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 $R$ 上的多項式環是由系數在 $R$ 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 $R$ 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換 $R$-代數範疇中的自由對象。

定義

多項式函數與多項式

在初等數學與微積分中，多項式視同多項式函數，兩者在一般的域或環上則有區別。舉例言之，考慮有限體 $\mathbb {F} _{2}:=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ 上的多項式

$P(X)=X^{2}+X$

此多項式代任何值皆零，故給出零函數，但其形式表法非零。

我們寧願將多項式看作形式的符號組合，以得到較便利的代數理論。且考慮多項式在體擴張之下的性質：就函數觀點，多項式函數在體擴張下的行為頗複雜，上述 $P(X)$ 給出 $\mathbb {F} _{2}$ 上的零函數，但視為 $\mathbb {F} _{4}$ 上的多項式函數則非零；而就形式觀點，只須將系數嵌入擴張體即可。

形式定義

於是我們採取下述定義：令 $R$ 為環。一個單變元 $X$ 的多項式 $P(X)$ 定義為下述形式化的表法：

$P(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$

其中 $a_{i}$ 屬於 $R$，稱作 $X^{i}$ 的系數，而 $X$ 視作一個形式符號。兩多項式相等當且僅當每個 $X^{i}$ 的系數均相同。次數最大的非零系數稱為該多項式的領導系數，或者首項系數。

更嚴謹的說法或許是將多項式定義為系數的序列 $a=(a_{n})_{n\geq 0}$，使得其中僅有有限項非零。但是我們在實踐上總是用變元 $X$ 及其冪次表達。

多項式的運算

以下固定環 $R$，我們將推廣初等數學中熟悉的多項式運算。

環結構

多項式的加法由系數逐項相加定義，而乘法則由下列法則唯一地確定：

• 分配律：對所有 $R$ 上的多項式 $P(X),Q(X),R(X)$，恆有

$(P(X)+Q(X))\cdot R(X)=P(X)R(X)+Q(X)R(X)$

$R(X)\cdot (P(X)+Q(X))=R(X)P(X)+R(X)Q(X)$

• 對所有 $a\in R$，有 $X\,a=a\,X$
• 對所有非負整數 $k,l$，有 $X^{k}\cdot X^{l}=X^{k+l}$

運算的具體表法如下：

• $\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}+\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})X^{i}$
• $\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{\mu +\nu =k}a_{\mu }b_{\nu }\right)X^{k}$

當 $R$ 是交換環時，$R[X]$ 是個 $R$ 上的代數。

多項式的合成

設 $P(X)=\sum a_{i}X^{i}$ 而 $Q(X)$ 為另一多項式，則可定義兩者的合成為

$(P\circ Q)(X):=\sum _{i}a_{i}Q(X)^{i}$

求值

對於任一多項式 $P(X)=\sum a_{i}X^{i}$ 及 $r\in R$，我們可考慮 $P(X)$ 對 $r$ 的求值：

$s_{r}(P):=\sum _{i}a_{i}r^{i}$

固定 $r\in R$，則得到一個環同態 $s_{r}:R[X]\rightarrow R$，稱作求值同態；此外它還滿足

$s_{r}(P\circ Q)=s_{s_{r}(Q)}(P)$

導數

在微積分中，多項式的微分由微分法則 $(x^{k})'=kx^{k-1}$ 確定。雖然一般的環上既無拓撲結構更無完備性，我們仍然可形式地定義多項式的導數為：

$P(X)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$

$\Rightarrow P(X)':=\sum _{i=0}^{n}ia_{i}X^{i-1}$

這種導數依然滿足 $(PQ)'=P'Q+PQ'$ 與 $(P+Q)'=P'+Q'$ 等性質。對於系數在域上的多項式，導數也可以判定重根存在與否。

多變元的情形

上述定義可以推廣到任意個變元（包括無限個變元）的情形。對於有限變元的多項式環 $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$，也可以採下述構造：

先考慮兩個變元 $X,Y$ 的例子，我們可以先構造多項式環 $R[X]$，其次構造 $(R[X])[Y]$。可以證明有自然同構 $(R[X])[Y]\cong R[X,Y]$，例如多項式

$P(X,Y)=X^{2}Y^{2}+4XY^{2}+5X^{3}-8Y^{2}+6XY-2Y+7\in R[X,Y]$

也可以視作

$(X^{2}+4X-8)Y^{2}+(6X-2)Y+(5X^{3}+7)\in (R[X])[Y]$

對 $(R[Y])[X]$亦同。超過兩個變元的情形可依此類推。

性質

• 若 R 是域，則 $R[X]$ 是主理想環（事實上還是個歐幾里得整環）。
• 若 R 是唯一分解環，則 $R[X]$ 亦然。
• 若 R 是整環，則 $R[X]$ 亦然。
• 若 R 是諾特環，則 $R[X]$ 亦然；這是希爾伯特基底定理的內容。
• 任一個交換環 $R$ 上的有限生成代數皆可表成某個 $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ 的商環。

在數學中的角色

多項式環對理想的商是構造環的重要技術。例子包括從同餘系 $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$構造有限體，或從實數構造複數等等。

弗羅貝尼烏斯多項式是另一個跟多項式環相關的環，此環的乘法係採用多項式的合成而非乘法。