圖沙德多項式

Touchard Polynomials

圖沙德多項式是1939年法蘭西數學家Jacques Touchard提出的多項式。定義如下：

Touchard Polynomials

$T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}x^{k},$

其中$S(n,k)$是第二類斯特林數。

前面幾個圖沙德多項式是：

• $T_{0}(x)=1$
• $T_{1}(x)=x$
• $T_{2}(x)=x+x^{2}$
• $T_{3}(x)=x+3x^{2}+x^{3}$
• $T_{4}(x)=x+7x^{2}+6x^{3}+x^{4}$
• $T_{5}(x)=x+15x^{2}+25x^{3}+10x^{4}+x^{5}$

生成函數

圖沙德多項式的生成函數為

$\sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)}.$