克羅內克符號

數論中，克羅內克符號寫作 $\left({\frac {a}{n}}\right)$ 或(a|n)，是雅克比符號對全體整數n的推廣。首先被利奧波德·克羅內克提出。

定義

如果n是一個非零整數，具有質因子分解

u\cdot {p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},

這裏u是一個單位(例如, u為1或−1)，並且p_i是質數。a是一個整數。那麼克羅內克符號(a|n)定義為

\left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.

對於奇素數p_i, (a|p_i) 與通常的勒讓德符號相等。當p_i = 2。定義(a|2)為

\left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a{\mbox{ is even,}}\\1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}

這使得它是雅克比符號的推廣，(a|u)的值在u = 1時為1。在u = −1時，定義

\left({\frac {a}{-1}}\right)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}a<0,\\1&{\mbox{if }}a\geq 0.\end{cases}}

最終我們加上：

\left({\frac {a}{0}}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}a=\pm 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

這些擴展足以將克羅內克符號覆蓋所有的整數n。