艾佛森括號

在數學中，以Kenneth E. Iverson命名的「艾佛森括號」（Iverson bracket），是一種用方括號記號，如果方括號內的條件滿足則為1，不滿足則為0. 更確切地講，

$[P]={\begin{cases}1&{\text{If }}P{\text{ is true;}}\\0&{\text{Otherwise.}}\end{cases}}$

此處 P 是一個可真可假的命題。該記號由Kenneth E. Iverson在他的程式語言APL中引進，而特別使用方括號則是由高德納倡導的，目的是避免含括號的表達式中的歧義。

用途

艾弗森括號通過自然的映射${\textbf {false}}\mapsto 0;{\textbf {true}}\mapsto 1$將布林值轉化為整數值，這就允許計數被表示為和式。例如，計數與小於n且正整數n互質的正整數的個數的歐拉函數可以表示為

$\phi (n)=\sum _{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1],\qquad {\text{for }}n\in \mathbb {N} ^{+}.$

更一般地，此記號使得將和式和積分式中繁多的條件移入並成為被加（積）項的一個因子成為可能。這將減少累加記號周圍的空間，更重要的是這允許運算更加代數化。例如，

$\sum _{1\leq i\leq 10}i^{2}=\sum _{i}i^{2}[1\leq i\leq 10].$

另一個例子是化簡帶特例的方程，例如公式

$\sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n)$

對一切n > 1有效，但是右邊有 1/2 對於 n = 1。為了得到一個一切正整數n都成立的恆等式，可以利用艾弗森括號補充等式：

$\sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n(\varphi (n)+[n=1])$

樣例

克羅內克函數 : $\delta _{ij}=[i=j].$

符號函數和單位階躍函數：

$\operatorname {sgn}(x)=[x>0]-[x<0]$

$H(x)=[x>0].$

最值與絕對值：

$\max(x,y)=x[x>y]+y[x\leq y],$

$\min(x,y)=x[x\leq y]+y[x>y],$

$|x|=x[x\geq 0]-x[x<0].$

上下取整函數：

$\lfloor x\rfloor =\sum _{n=-\infty }^{\infty }n[n\leq x<n+1]$

$\lceil x\rceil =\sum _{n=-\infty }^{\infty }n[n-1<x\leq n].$

麥考利括號可被表示為

$\{x\}=x\cdot [x\geq 0].$

實數的三一律等價於下面的恆等式：

$[a<b]+[a=b]+[a>b]=1.$

另見

• 麥考利括號

參考來源

• Donald Knuth, "Two Notes on Notation", American Mathematical Monthly, Volume 99, Number 5, May 1992, pp. 403–422. (http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/papers/tnn.tex.gz （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, arXiv:math/9205211)
• Kenneth E. Iverson, A Programming Language, New York: Wiley, p. 11, 1962.