關於與「
拉莫爾方程式 」標題相近或相同的條目頁，請見「
拉莫爾進動 」。
八木天線 ，無線電波可由天線中的加速電子產生。此為相干性 過程，因此輻射總功率和電子加速度的平方成正比。在電動力學 的領域中，拉莫爾方程式 （英語：Larmor formula ）是用來計算非相對論性點電荷在有加速度的狀態下釋放電磁波的總功率。本公式是由約瑟夫·拉莫爾 於1897年提出的光的波動理論一部分。
當任何點電荷（例如電子）有正或負的加速度時，會以電磁輻射的形式釋放能量。對於遠小於光速的狀態下，總輻射能量可用如下方程式表示：
P
=
e
2
a
2
6
π
ε
0
c
3
{\displaystyle P={\frac {e^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\mbox{ }}}
P
=
2
3
e
2
a
2
c
3
{\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {e^{2}a^{2}}{c^{3}}}{\mbox{ }}}
公式中
a
{\displaystyle a}
e
{\displaystyle e}
c
{\displaystyle c}
黎納-維謝勢 給定。
首先必須要找到電場和磁場的形式，可使用以下形式表示（更完整推導請參見黎納-維謝勢 ）：
E
→
(
r
→
,
t
)
=
q
(
n
→
−
β
→
γ
2
(
1
−
β
→
⋅
n
→
)
3
R
2
)
r
e
t
+
q
c
(
n
→
×
[
(
n
→
−
β
→
)
×
β
˙
→
]
(
1
−
β
→
⋅
n
→
)
3
R
)
r
e
t
{\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},t)=q\left({\frac {{\vec {n}}-{\vec {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}})^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}}\left({\frac {{\vec {n}}\times [({\vec {n}}-{\vec {\beta }})\times {\vec {\dot {\beta }}}]}{(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}})^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}}
以及
B
→
=
n
→
×
E
→
{\displaystyle {\vec {B}}={\vec {n}}\times {\vec {E}}}
此處
β
{\displaystyle \mathbf {\beta } }
c 的商
β
˙
{\displaystyle \mathbf {\dot {\beta }} }
c 的商
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
r
−
r
0
{\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}
R
{\displaystyle R}
r
−
r
0
{\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}
而以下公式右方則是計算推遲時間
t
′
=
t
−
R
c
{\displaystyle t'=t-{R \over c}}
場方程式本身會分離為速度場和加速度場。速度場只與β相關，而加速度場則和
β
{\displaystyle \beta \,}
β
˙
{\displaystyle {\dot {\beta }}}
R
−
2
{\displaystyle R^{-2}}
R
−
1
{\displaystyle R^{-1}}
而輻射場的能量通量 密度可使用坡印廷向量 得知：
S
→
=
c
4
π
E
→
a
×
B
→
a
{\displaystyle {\vec {S}}={\frac {c}{4\pi }}{\vec {E}}_{a}\times {\vec {B}}_{a}}
上式中下標'a'則強調是在加速度場的分量。以磁場和電場關係進行取代，同時假設粒子在特定時間
t
r
{\displaystyle t_{r}}
S
→
=
q
2
4
π
c
|
n
→
×
(
n
→
×
β
˙
→
)
R
|
2
.
{\displaystyle {\vec {S}}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {{\vec {n}}\times ({\vec {n}}\times {\vec {\dot {\beta }}})}{R}}\right|^{2}.}
當
β
(
t
r
)
≠
0
{\displaystyle \beta \left(t_{r}\right)\neq 0}
如果讓加速度和觀測者方向的向量夾角相等於
θ
{\displaystyle \theta }
S
→
=
q
2
4
π
c
3
R
2
sin
2
θ
|
V
˙
→
|
2
n
^
.
{\displaystyle {\vec {S}}={\frac {q^{2}}{4\pi c^{3}R^{2}}}\sin ^{2}{\theta }|{\vec {\dot {V}}}|^{2}{\hat {n}}.}
其實這是電荷輻射在每單位立體角下的單位功率。可使用積分計算完整立體角下的功率，即：
P
=
2
3
q
2
|
V
˙
→
|
2
c
3
.
{\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}|{\vec {\dot {V}}}|^{2}}{c^{3}}}.}
以上公式就是非相對論性下有加速度電荷所釋放輻射的功率，功率大小與加速度相關。這公式明確表示加速度較高電荷會產生較強輻射，我們可以期望輻射場和加速度相關。
此方法出自愛德華·珀塞爾 《電與磁》書中。[ 1]
這種逼近法是基於光速是有限的。一個以等速度運動的帶電粒子有徑向的電場
E
r
{\displaystyle E_{r}}
R
{\displaystyle R}
E
t
=
0
{\displaystyle E_{t}=0}
E
r
{\displaystyle E_{r}}
E
t
{\displaystyle E_{t}}
1
/
R
2
{\displaystyle 1/R^{2}}
因此，距離電荷很遠處的徑向分量相對於切向分量是可以忽略的，此外，和
1
/
R
2
{\displaystyle 1/R^{2}}
1
/
R
4
{\displaystyle 1/R^{4}}
切線方向分量可以表示為（SI單位制）：
E
t
=
e
a
sin
(
θ
)
4
π
ε
0
c
2
R
.
{\displaystyle E_{t}={{ea\sin(\theta )} \over {4\pi \varepsilon _{0}c^{2}R}}.}
為了得到拉莫方程式，必須要對所有的角度進行積分，在距離電荷的
R
{\displaystyle R}
E
t
{\displaystyle E_{t}}
S
=
E
t
2
μ
0
c
r
^
=
e
2
a
2
sin
2
(
θ
)
16
π
2
ε
0
c
3
R
2
r
^
{\displaystyle \mathbf {S} ={E_{t}^{2} \over \mu _{0}c}\mathbf {\hat {r}} ={{e^{2}a^{2}\sin ^{2}(\theta )} \over {16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3}R^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }
因此在SI單位制下可得到：
P
=
e
2
a
2
6
π
ε
0
c
3
{\displaystyle P={{e^{2}a^{2}} \over {6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}}
上式在數學上和下式相等：
P
=
μ
0
e
2
a
2
6
π
c
{\displaystyle P={{\mu _{0}e^{2}a^{2}} \over {6\pi c}}}
在這裏必須將拉莫方程式以動量的形式重新表示，接着使用四個向量的廣義動量
P
μ
{\displaystyle P^{\mu }}
四維動量 ）。這裏我們知道功率是勞侖茲不變量 ，所以我們要表明的是廣義動量也不變，因此將會退化至低速限制條件下的拉莫方程式，即：
P
=
2
3
q
2
c
3
m
2
(
d
p
→
d
t
⋅
d
p
→
d
t
)
.
{\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{c^{3}m^{2}}}\left({\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\cdot {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\right).}
假設在廣義座標下的公式是：
P
=
−
2
3
q
2
m
2
c
3
d
P
μ
d
τ
d
P
μ
d
τ
.
{\displaystyle P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dP^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dP_{\mu }}{d\tau }}.}
當我們將四向量動量的積展開並重新排列時可得：
d
P
μ
d
τ
d
P
μ
d
τ
=
v
2
c
2
(
d
P
d
τ
)
2
−
(
d
p
→
d
τ
)
2
{\displaystyle {\frac {dP^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dP_{\mu }}{d\tau }}={\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {dP}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\vec {p}}}{d\tau }}\right)^{2}}
在這裏已知
d
E
d
τ
=
P
c
2
E
d
P
d
τ
=
v
d
P
d
τ
{\displaystyle {\frac {dE}{d\tau }}={\frac {Pc^{2}}{E}}{\frac {dP}{d\tau }}=v{\frac {dP}{d\tau }}}
β
{\displaystyle \beta }
γ
{\displaystyle \gamma }
d
τ
{\displaystyle d\tau }
這是一個有趣的方程式。這個方程式表示由例子釋放入空間的輻射功率和動量隨時間的變化率有關。它也表示輻射的功率和電荷量的平方成正比，但和質量的平方成反比。因此一個帶大量電荷但體積極小的粒子釋放輻射功率將遠大於大質量的低電荷粒子。
為了獲得廣義座標下的非協變形式拉莫方程式，首先要以
p
μ
=
(
γ
m
c
2
,
γ
m
v
→
)
{\displaystyle p^{\mu }=(\gamma mc^{2},\gamma m{\vec {v}})}
d
p
μ
d
τ
d
p
μ
d
τ
=
−
(
d
p
→
d
τ
)
2
+
1
c
2
(
d
E
d
τ
)
2
{\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=-\left({\frac {d{\vec {p}}}{d\tau }}\right)^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {dE}{d\tau }}\right)^{2}}
d
p
μ
d
τ
d
p
μ
d
τ
=
−
γ
2
(
d
γ
m
v
→
d
t
)
2
+
γ
2
c
2
(
d
γ
m
c
2
d
t
)
2
{\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=-\gamma ^{2}\left({\frac {d\gamma m{\vec {v}}}{dt}}\right)^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {d\gamma mc^{2}}{dt}}\right)^{2}}
d
p
μ
d
τ
d
p
μ
d
τ
=
−
γ
2
[
−
(
γ
m
v
˙
→
+
γ
3
m
v
→
(
β
→
⋅
β
˙
→
)
)
2
+
1
c
2
(
γ
3
β
→
⋅
β
˙
→
m
c
2
)
2
]
{\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=-\gamma ^{2}[-(\gamma m{\vec {\dot {v}}}+\gamma ^{3}m{\vec {v}}({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}}))^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(\gamma ^{3}{\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}}mc^{2})^{2}]}
d
p
μ
d
τ
d
p
μ
d
τ
=
γ
8
m
2
c
2
[
(
β
→
⋅
β
˙
→
)
2
−
(
β
→
(
β
→
⋅
β
˙
→
)
+
β
˙
→
γ
2
)
2
]
{\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=\gamma ^{8}m^{2}c^{2}[({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})^{2}-({\vec {\beta }}({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})+{\frac {\vec {\dot {\beta }}}{\gamma ^{2}}})^{2}]}
⇒
d
p
μ
d
τ
d
p
μ
d
τ
=
γ
8
m
2
c
2
(
−
1
γ
2
(
β
→
⋅
β
˙
→
)
2
−
β
˙
→
2
γ
4
)
.
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=\gamma ^{8}m^{2}c^{2}\left(-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})^{2}-{\frac {{\vec {\dot {\beta }}}^{2}}{\gamma ^{4}}}\right).}
雖然上方的公式可以正確代表其意義，但無法立刻地明確顯示輻射功率和粒子速度、加速度的關係。如果讓這關係更加明確顯示，就可以明顯指出輻射如何和粒子的運動相關，以及不同狀況下會發生什麼。可以藉着增加和取代以上公式中的
β
→
2
⋅
β
˙
→
2
γ
2
{\displaystyle {\frac {{\vec {\beta }}^{2}\cdot {\vec {\dot {\beta }}}^{2}}{\gamma ^{2}}}}
γ
6
m
2
c
2
[
(
β
→
2
β
˙
→
2
−
(
β
→
⋅
β
˙
→
)
2
)
−
β
˙
→
2
]
.
{\displaystyle \gamma ^{6}m^{2}c^{2}[({\vec {\beta }}^{2}{\vec {\dot {\beta }}}^{2}-({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})^{2})-{\vec {\dot {\beta }}}^{2}].}
如果應用向量的話：
(
β
→
×
β
˙
→
)
⋅
(
β
→
×
β
˙
→
)
=
(
β
→
2
β
˙
→
2
−
(
β
→
⋅
β
˙
→
)
2
)
.
{\displaystyle ({\vec {\beta }}\times {\vec {\dot {\beta }}})\cdot ({\vec {\beta }}\times {\vec {\dot {\beta }}})=({\vec {\beta }}^{2}{\vec {\dot {\beta }}}^{2}-({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})^{2}).}
然後可得到：
P
=
2
q
2
γ
6
3
c
(
(
β
˙
→
)
2
−
(
β
→
×
β
˙
→
)
2
)
{\displaystyle P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left(({\vec {\dot {\beta }}})^{2}-({\vec {\beta }}\times {\vec {\dot {\beta }}})^{2}\right)}
這裏已經取代了所有常數和之前刪除的負號。
這是黎納首次於1898年計算出的結果。
γ
6
{\displaystyle \gamma ^{6}}
γ
{\displaystyle \gamma }
β
<<
1
{\displaystyle \beta <<1}
γ
{\displaystyle \gamma }
β
→
1
{\displaystyle \beta \rightarrow 1}
β
→
⋅
β
˙
→
{\displaystyle {\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}}}
β
{\displaystyle \beta }
γ
6
{\displaystyle \gamma ^{6}}
∞
6
{\displaystyle \infty ^{6}}
而我們可以用黎納的結果預測粒子在不同形式的運動下將會釋放的輻射種類。
來自帶電粒子的輻射會攜帶有能量和動量。為了滿足能量和動量守恆，帶電粒子會在釋放電磁輻射時出現反衝現象，因此在帶電粒子上必須要有一個額外的力。在非相對論性下這個力量就是阿布拉罕-勞侖茲力 ，而在相對論性狀態下則是阿布拉罕-勞侖茲-狄拉克力 。
在經典物理中，環繞原子核的電子會被加速且釋放出電磁輻射，會使電子失去能量並以螺旋路徑墜入原子核。在經典力學之下原子應是不穩定的，因此穩定的電子軌道違反了經典力學的預測。這個原子物理學 的問題由量子力學 或隨機電動力學 解決。
^ Purcell Simplified . [2012-10-26 ] . （原始內容存檔 於2020-12-27）.
J. Larmor, "On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium", Philosophical Transactions of the Royal Society 190 , (1897) pp. 205–300 (Third and last in a series of papers with the same name). Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald. Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. 1973. ISBN 0-7167-0344-0 
![{\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},t)=q\left({\frac {{\vec {n}}-{\vec {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}})^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}}\left({\frac {{\vec {n}}\times [({\vec {n}}-{\vec {\beta }})\times {\vec {\dot {\beta }}}]}{(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}})^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d19138bd8d71713f0f9215b09468f32c03007669)
![{\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=-\gamma ^{2}[-(\gamma m{\vec {\dot {v}}}+\gamma ^{3}m{\vec {v}}({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}}))^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(\gamma ^{3}{\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}}mc^{2})^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a6dfa16aba554cffb995cc2043318332405391)
![{\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=\gamma ^{8}m^{2}c^{2}[({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})^{2}-({\vec {\beta }}({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})+{\frac {\vec {\dot {\beta }}}{\gamma ^{2}}})^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b93ec16cae3dab2e4c4421fe914e585042b83bb)
![{\displaystyle \gamma ^{6}m^{2}c^{2}[({\vec {\beta }}^{2}{\vec {\dot {\beta }}}^{2}-({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})^{2})-{\vec {\dot {\beta }}}^{2}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0630ef2e1daa484bd0b409e6d8338cf6aa615312)
