南部力學

經典力學自牛頓創立以來，經拉格朗日和哈密頓等人的努力發展成為分析力學，並向剛體力學、彈性力學、流體力學等具體領域繼續推進。1973年，南部陽一郎提出一種邏輯上自恰的廣義力學體系，稱為南部力學。正如黎曼幾何的真正價值直到廣義相對論出現後才開始顯現，而南部力學，除了南部自己指出的它與剛體力學的聯繫外，尚有空間作進一步研究。

單自由度情形

哈密頓力學

設正則變量為 $\xi _{1}$ 和 $\xi _{2}$ ，分別描述廣義坐標和廣義動量，H為哈密頓量，它是廣義坐標和廣義動量的函數，且可顯含時間，則運動方程為

${\dot {\xi _{1}}}={\frac {\partial H}{\partial \xi _{2}}},\qquad {\dot {\xi _{2}}}=-{\frac {\partial H}{\partial \xi _{1}}}.$

若使用雅可比行列式記號，則上述兩個方程可以合寫為

${\dot {\xi _{i}}}={\frac {\partial \left(\xi _{i},H\right)}{\partial \left(\xi _{1},\xi _{2}\right)}},\qquad i=1,2.$

此外，若定義泊松括號

$\left[F,H\right]={\frac {\partial \left(F,H\right)}{\partial \left(\xi _{1},\xi _{2}\right)}}.$

則任意力學量 $F\left(\xi _{1},\xi _{2},t\right)$ 的隨時變化率為

${\dot {F}}={\frac {\partial F}{\partial t}}+\left[F,H\right].$

南部力學

南部力學相對於哈密頓力學的推廣只在於正則變量由2個變為n個，即 $\xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}.$ 相應的哈密頓量也由1個變為n-1個，即 $H_{1},\cdots ,H_{n-1}.$ 則運動方程為

${\dot {\xi _{i}}}={\frac {\partial \left(\xi _{i},H_{1},\cdots ,H_{n-1}\right)}{\partial \left(\xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}\right)}},\qquad i=1,2,\cdots ,n.$

同樣地，可仿照定義南部括號

$\left[F,H_{1},\cdots ,H_{n-1}\right]={\frac {\partial \left(F,H_{1},\cdots ,H_{n-1}\right)}{\partial \left(\xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}\right)}}$

則任意力學量 $F\left(\xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n},t\right)$ 的隨時變化率

${\dot {F}}={\frac {\partial F}{\partial t}}+\left[F,H_{1},\cdots ,H_{n-1}\right].$

多自由度情形

多自由度情形並不比單自由度情形複雜多少，僅使每個正則變量取多個值，而南部括號定義中僅需對自由度求和即可。此處不復贅述。

南部力學與剛體力學的聯繫

南部在他的論文中同時指出，剛體力學即 $n=3$ 情形的南部力學。

取剛體角動量在三個慣量主軸上的投影$L_{i}=I_{i}\omega _{i}\left(i=1,2,3\right)$為正則變量，哈密頓量如下定義

$H_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}L_{i}^{2},\qquad H_{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\frac {L_{i}^{2}}{I_{i}}}.$

代入南部力學方程即可得到剛體自由轉動的歐拉方程。

展望

現實世界力學的正則形式是南部力學 $n=2$ 的情形，剛體力學是南部力學 $n=3$ 的情形，除此之外，南部力學還應用於奇異哈密頓系統和受約束哈密頓系統子系統的研究。我們期待對此有更深一步的進展。

參考文獻

1. Y . Nambu . Phys.Rev. . D7(1973)2405.
2. 張啟仁 . 2002 . 經典力學 . 北京 : 科學出版社