匹配漸近展開法(英語:method of matched asymptotic expansions)是數學中用於獲得方程或方程組高精度近似解的一種常用方法,尤其常用於奇異攝動微分方程的求解。
對於許多奇異攝動問題而言,可以將定義域分成兩個或多個部分。其中一部分(通常是範圍最大的部分)可以通過正則攝動理論獲得漸近展開級數解。然而這個解在其他較小的部分則十分不精確。如果這些部分處於定義域邊界上被稱為邊界層,處於定義域中間則稱為內層。可以將邊界層或內層內的求解問題當作一個獨立的攝動問題處理,以獲得相應的「內解」(之前通過正則攝動獲得的則稱為「外解」)。最後再將內解與外解通過「匹配」的辦法合併,以得到在整個定義域內都適用的近似解。[1][2][3]
考慮邊值問題
![{\displaystyle \epsilon y''+(1+\epsilon )y'+y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c4a72aefadcc040e8562feec104f9f7d68dd02)
其中
為時間
的函數,定義域從0到1,邊界條件為
與
。
是一個小參數,滿足
。
外解(t = O(1))[編輯]
由
十分小,故可以當作正則攝動問題處理。取
,有
![{\displaystyle y'+y=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7fb648bf5161196050060e6860bfe0df856305)
該方程的解為
![{\displaystyle y=Ae^{-t}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a97eece874fe9802c0fb581e2fd10d8baef6e002)
其中
為常數。使用邊界條件
,有
。而如果使用另一個邊界條件
,則有
。這說明該解不可能滿足所有邊界條件,意味着
的假設不能在整個定義域中都適用(即奇異攝動問題)。於是,我們能夠知道定義域中必定存在一個邊界層,其中
與自變量
相比不能再忽略不計。這個邊界層位於
一側。於是我們使用另一個邊界條件
得到適用於邊界層以外區域的外解
。
內解(t = O(ε))[編輯]
在邊界層之內,
與
都很小,但它們大小相若,故可以定義一個新的O(1) 時間變量
。於是原先的邊值問題可以改寫為
![{\displaystyle {\frac {1}{\epsilon }}y''(\tau )+\left({1+\epsilon }\right){\frac {1}{\epsilon }}y'(\tau )+y(\tau )=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8902ef320df96950d17066346a51e8b80e0362e5)
將兩邊同乘
再取
,得到
![{\displaystyle y''+y'=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badc98149794271dbcbc025dfe3e45266c9456ad)
該方程的解為
![{\displaystyle y=B-Ce^{-\tau }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6a5174a9267514f69d93258b60597156ca4361)
其中
與
為常數。使用邊界層內的邊界條件
,得到
。故內解為
![{\displaystyle y_{I}=B\left({1-e^{-\tau }}\right)=B\left({1-e^{-t/\epsilon }}\right).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23575b377f14cbb8e9acebf7bc2739186bd7d2a1)
由於對於中間大小的
(
)需同時滿足內解和外解,故可以令內解的外極限與外解的內極限相等,即
。由此得到常數
。
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Singular_perturbation_convergence.svg/400px-Singular_perturbation_convergence.svg.png)
取不同值時的近似解
最後,將匹配好的內解與外解合併,以得到適用於整個定義域的近似解。具體而言,即是將內解與外解相加,再減去內、外解重合部分的值
(即外解的內極限,或內解的外極限)。此問題中,重合部分的值為
。故可以得到原邊值問題的最終近似解為
![{\displaystyle y(t)=y_{I}+y_{O}-y_{\mathrm {overlap} }=e\left({1-e^{-t/\epsilon }}\right)+e^{1-t}-e=e\left({e^{-t}-e^{-t/\epsilon }}\right).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6ad42813b6bcee770d2561723b01125bb92161)
參考文獻[編輯]