討論:微分形式

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有關微分形式的計算（使用抽象指標符號）

Wald,Robert M.的書General Relativity 附錄B Differential Forms,Integration,and Frobiniu's Theorem 討論了將Stokes' Theorem 應用於n維(贗)黎曼流形M的嵌入子流形D的情況，

Wald首先給出了公式(B.2.24)：

{\epsilon }_{ba_{1}a_{2}...a_{n-1}}=n_{b}\wedge {\tilde {\epsilon }}_{a_{1}a_{2}...a_{n-1}}(=-n_{a_{1}}\wedge {\tilde {\epsilon }}_{ba_{2}...a_{n-1}})

進而給出了公式(B.2.25)：

v^{b}{\epsilon }_{ba_{1}a_{2}...a_{n-1}}=(v^{b}n_{b}){\tilde {\epsilon }}_{a_{1}a_{2}...a_{n-1}}

其中：

 $v^{a}$ 是流形M上任意切矢量场(tangent vector field)；
 $n_{a}$ 是嵌入子流形D的(n-1维)边界 $\partial D$ (超曲面)的(归一化)法向量  $g^{ab}n_{a}n_{b}=\epsilon =\pm 1$ ；
 ${\epsilon }_{ba_{1}a_{2}...a_{n-1}}$ 是黎曼流形M的适配体元；
 ${\tilde {\epsilon }}_{a_{1}a_{2}...a_{n-1}}$ 是 $\partial D$ 的适配体元(边界 $\partial D$ 有诱导度规 $h_{ab}=g_{ab}-\epsilon n_{a}n_{b}$ )；

請問：如何從(B.2.24)推出(B.2.25)？ Aphysicsstudent（留言） 2022年4月25日 (一) 14:33 (UTC)[回覆]