費雪變換

費雪變換

費雪變換（英語：Fisher transformation）是統計學中用於相關係數假設檢驗的一種方法。對樣本相關係數進行費雪變換後，可以用來檢驗關於總體相關係數ρ的假設。

定義

已知N組雙變量樣本(X_i, Y_i), i = 1, ..., N，樣本相關係數r為

$r={\frac {\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-{\bar {X}})(Y_{i}-{\bar {Y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}(Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}}}}$

於是，r的費雪變換可定義為

$z:={1 \over 2}\ln \left({1+r \over 1-r}\right)=\operatorname {arctanh} (r).$

當(X, Y)為二元正態分布且(X_i, Y_i)對相互獨立時，z近似為正態分布。其均值為

${1 \over 2}\ln \left({{1+\rho } \over {1-\rho }}\right),$

標準差為

${1 \over {\sqrt {N-3}}},$

其中N是樣本大小，ρ是變量X與Y的總體相關係數。

費雪變換及其逆變換

$r={{\exp(2z)-1} \over {\exp(2z)+1}}=\operatorname {tanh} (z),$

可以用於構造ρ的置信區間。