角直徑距離

角直徑距離一般是天文學中使用的距離。天體的角直徑距離被定義為天體的真實大小 $x$ 和它從地球觀察所見的角直徑 $\theta$ 之比。
$d_{A}={\frac {x}{\theta }}$
角直徑距離的確定依賴於宇宙模型的選取。一個紅移為 $z$ 的天體的角直徑距離用同移距離 $\chi$ 表示為：
$d_{A}={\frac {r(\chi )}{1+z}}$
此處 $r(\chi )$ 為弗里德曼-羅伯遜-沃爾克坐標，其定義如下：
$r(\chi )={\begin{cases}\sin \left({\sqrt {-\Omega _{k}}}H_{0}\chi \right)/\left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}\right)&\Omega _{k}<0\\\chi &\Omega _{k}=0\\\sinh \left({\sqrt {\Omega _{k}}}H_{0}\chi \right)/\left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}\right)&\Omega _{k}>0\end{cases}}$
此處 $\Omega _{k}$ 是曲率密度，和 $H_{0}$ 是哈伯參數目前的值。

在目前被普遍推崇的ΛCDM模型中，一個天體的「角直徑距離」是對「真實距離」（即光線發出時刻的同移距離）很好的近似。請注意當紅移較大時，增加紅移會得到更小的角直徑距離。換言之，在一個天體「後面」的另一個相同大小的天體，如果紅移較大（約大於Z=1.5），會在天球上顯示更大的張角，而且會有「較小」的「角直徑距離」。

角大小與紅移的關係

角大小與紅移的關係描述天體在地球上觀測到的角大小與其紅移（與距離 $d$ 有關）的關係。根據歐幾里得幾何，這個關係可表達為：

$\tan \left(\theta \right)={\frac {x}{d}}$

其中 $\theta$ 是天體的角大小， $x$ 是其真實大小， $d$ 是天體到地球的距離。當 $\theta$ 很小時，上式可以近似為：

$\theta \approx {\frac {x}{d}}$ .

但是，在ΛCDM模型中，這個關係是複雜的。如上所述，此模型中，當天體的紅移增加至大於約1.5之後，隨著紅移的增加天體的角大小增大。

具體的角直徑距離 $d_{a}$ 和紅移的關係如下：

$d_{a}={\cfrac {c}{H_{0}q_{0}^{2}}}{\cfrac {(zq_{0}+(q_{0}-1)({\sqrt {2q_{0}z+1}}-1))}{(1+z)^{2}}}$

其中 $q_{0}$ 為減速因子（英語：Deceleration parameter），它描述宇宙減速膨脹的加速度；在最簡化的模型中， $q_{0}<0.5$ 代表宇宙將永遠膨脹， $q_{0}>0.5$ 代表閉合宇宙（最終將停止膨脹並收縮）， $q_{0}=0.5$ 代表臨界的狀態－宇宙將正好可以膨脹至無窮遠而不會收縮。