綜合除法

綜合除法是一種簡便的多項式除法，只需加、乘兩種運算。一般的綜合除法可計算除式為一次多項式時的多項式除法。

被除數的未知數應是降冪排列，抽取係數用以計算。如果除式中的首項係數不是$1$，使用綜合除法前應先提取除式的首項係數。

一般的綜合除法

設被除式為

$F(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

設除式為

$G(x)=x-r\,\!$

設商為

$Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}$

另外有一個餘數s

1. 分離$F(x)$的係數，按降冪寫下，再把$r$寫在左邊，像這樣:

${\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&~&~&~&~\\\hline \end{array}}$

2. 把最左邊的係數$a_{n}$直接拖下來，它就是商的最高次項係數：

${\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&~&~&~&~\\\hline ~&a_{n}&~&~&~&~\\~&=b_{n-1}&~&~&~&~\\\end{array}}$

3. 把下邊的最左邊一個數乘上$r$，寫到行上邊的右邊一位：

${\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&b_{n-1}r&~&~&~\\\hline ~&a_{n}&~&~&~&~\\~&=b_{n-1}&~&~&~&~\\\end{array}}$

4. 上下兩數相加，寫到這一列的行下:

${\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&b_{n-1}r&~&~&~\\\hline ~&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}r&~&~&~\\~&=b_{n-1}&=b_{n-2}&~&~&~\\\end{array}}$

5. 重複第3，4步，直到沒有剩下的數了:

${\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&b_{n-1}r&\cdots &b_{1}r&b_{0}r\\\hline ~&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}r&\cdots &a_{1}+b_{1}r&a_{0}+b_{0}r\\~&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\cdots &=b_{0}&=s\\\end{array}}$

b的值是商$Q(x)$的係數，商的次數比被除式的次數少$1$。最後的$s$是餘數。

例如$2x^{2}+5x+3$除以$2x-3$

${\begin{array}{c|cccc}~&2&5&3\\{\dfrac {3}{2}}&~&3&12\\\hline ~&2&8&15\\\end{array}}$

因為除數用的是3/2，而不是3，所以還需將所得的係數除以2，

故商式為$x+4$，餘式為$15$。

$2x^{2}+5x+3=(2x+8)\left(x-{\frac {3}{2}}\right)+15=(x+4)(2x-3)+15$

推廣的綜合除法

推廣的綜合除法可計算除式為任意多項式的多項式除法。

例如$x^{3}-12x^{2}-42$除以$x^{2}+x-3$

${\begin{array}{c|cccc}~&1&-12&0&-42\\3&~&~&3&-39\\-1&~&-1&13&~\\\hline ~&1&-13&16&-81\\\end{array}}$

商式為$x-13$，餘式為$16x-81$。

$x^{3}-12x^{2}-42=(x-13)(x^{2}+x-3)+16x-81$