數學上,共形和擬共形映射的理論中,一個曲線族
的極值長度是
的一個共形不變量。確切來說,設
是複平面中的開集,
是
中的路徑族,
是一個共形映射。那麼
的極值長度等於
在
下的像的極值長度。因此極值長度是研究共形映射的有用工具。
設
是複平面中的開集。設
是在
中的可求長曲線族。
是博雷爾可測函數。對任意可求長曲線
,設
![{\displaystyle L_{\rho }(\gamma ):=\int _{\gamma }\rho \,|dz|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f853b266c802ad7ce536ebfa6eba5d4b68b3faca)
表示
的
長度,其中
表示歐氏線元。(可能有
。)又設
![{\displaystyle L_{\rho }(\Gamma ):=\inf _{\gamma \in \Gamma }L_{\rho }(\gamma ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fee1c30c37a7823c7f71736f737d0286c88b310)
的面積定義為
![{\displaystyle A(\rho ):=\int _{D}\rho ^{2}\,dx\,dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1061d5d49f59c9e7fa5865b157a492479beb478)
而
的極值長度定義為
![{\displaystyle EL(\Gamma ):=\sup _{\rho }{\frac {L_{\rho }(\Gamma )^{2}}{A(\rho )}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48dc39cc5845204960518dd4da803c2185ba3e2f)
其中最小上界是取自所有滿足
的博雷爾可測函數
。若
包含了不可求長曲線,將
中可求長曲線的子集記為
,則
定義為
。
的模是
。
中的兩個集合在
中的極值距離,是在
中兩個端點分別在這兩個集合的曲線族的極值長度。