朗德g因子

在物理學和化學中，朗德$g$因子是阿爾弗雷德·朗德試圖解釋反常塞曼效應時，於1921年提出的一個無量綱物理量，反映了塞曼效應中磁矩與角動量之間的聯繫。其定義後來被推廣到其它領域，在粒子物理學中常常被簡稱為$g$因子。

塞曼效應

塞曼效應中的朗德$g$因子由下式給出

$g_{J}=1+{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}$

式中$L,S,J$分別是原子能態（光譜支項）的角量子數、自旋量子數和內量子數。

導引

朗德假定，當兩個角動量$\mathbf {L} \hbar$與$\mathbf {S} \hbar$耦合時，它們的相互作用能由下式給出：

$E_{\text{interaction}}=\Gamma (\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ),\quad \Gamma \,{\text{ constant}}$

令

$\mathbf {J} \hbar =\mathbf {L} \hbar +\mathbf {S} \hbar$

為耦合後的總角動量，則可以證明，在上述形式的相互作用能下，$\mathbf {L} \hbar$與$\mathbf {S} \hbar$將繞向量$\mathbf {J} \hbar$進動。

在外加磁場的作用下，帶電粒子的角動量會繞外加磁場的方向進動。在這種情況下，是$\mathbf {J} \hbar$進行進動。朗德採用了一種簡化處理的方法，即認為外磁場中的原子的能量僅僅與向量$\mathbf {L} \hbar$與$\mathbf {S} \hbar$的長時間平均值有關，而後者恰好就是它們在$\mathbf {J} \hbar$方向上的投影，即

$(\mathbf {L} )_{\text{av}}={\frac {\mathbf {J} (\mathbf {L} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}},\quad (\mathbf {S} )_{\text{av}}={\frac {\mathbf {J} (\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}$

隨後，朗德進一步假定，角動量$\mathbf {L} \hbar$貢獻的磁能由經典的公式給出，並假定$\mathbf {J} \hbar$是量子化的，其沿着磁場方向的分量由磁量子數$M$確定，即

$E_{{\text{magnetic}},L}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =\left({\frac {e}{2m}}(\mathbf {L} )_{\text{av}}\hbar \right)\cdot \mathbf {B} =(\mathbf {L} )_{\text{av}}\cdot \mathbf {B} \mu _{B}={\frac {M(\mathbf {L} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}\mu _{B}B$

式中${\boldsymbol {\mu }}$是磁矩，而$\mu _{B}$為波耳磁子。類似地，朗德寫出了角動量$\mathbf {S} \hbar$帶來的能量貢獻，但他發現為了與實驗結果相一致，需要加上額外的因子2。當時朗德並不清楚為什麼，現在我們知道這就是電子的自旋$g$因子。即：

$E_{{\text{magnetic}},S}={\frac {M(\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}2\mu _{B}B$

將上面結果加起來，朗德得到下列的表達式，並引入符號$g$，這就是朗德$g$因子的最早來源：

$E_{\text{magnetic}}={\frac {M[(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {J} ]}{J^{2}}}\mu _{B}B=gM\mu _{B}B$

利用關係式$\mathbf {L}$+$2\mathbf {S}$=$\mathbf {J}$+$\mathbf {S}$，朗德得到：

$g={\frac {(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {J} }{J^{2}}}=1+{\frac {\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} }{J^{2}}}=1+{\frac {J^{2}-L^{2}+S^{2}}{2J^{2}}}$

但是，朗德發現，為了與實驗結果相符，這一表達式需要修改為下式，當時朗德並不清楚原因。現在來看，只要將上面的角動量矢量都作為算符來處理，然後將對應的角動量平方算符用其本徵值取代，得出這個結果是很自然的。

$g=1+{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}$

推廣

從上面的導引可見，定義朗德$g$因子的式子是

$E_{\text{magnetic}}=gM\mu _{B}B$

上式可以等價地表述為：

${\boldsymbol {\mu }}_{J}=g{\frac {e}{2m}}\mathbf {J}$

很自然的推廣是將兩邊的$J$同時換成$L,S$等，並對不同的粒子將$m$換成對應粒子的質量。這就是現在廣泛使用的朗德$g$因子。

粒子物理學

粒子物理學中的$g$因子是自旋$g$因子，根據自旋角動量和自旋磁矩按照上面的形式定義。

電子

上面的導引已經給出了電子自旋$g$因子的定義。在實際使用中，它的符號有兩種取法，用不同的符號表記：

$g_{\rm {e}}\approx -2.002319,g_{S}=|g_{\rm {e}}|=-g_{\rm {e}}$

歷史沿革

歷史上，它的理論值有過變動：

• 在非相對論量子力學理論下考慮自旋-軌道作用時，等效地說，$g_{s}$為1。
  • 若再額外考慮狹義相對論時間展長效應下的湯瑪斯進動修正（1927年），$g_{s}$變為2，方合乎當代實驗觀測值。
• 在相對論量子力學，也就是指保羅·狄拉克所提出的理論（1928年），$g_{s}$恰恰為2；並不如前者採外加修正的方法，是具有一致性的理論可導出的自然結果。
• 在量子電動力學（QED）中，因為電子與真空能量的電磁漲落交互作用，可表為單環費因曼圖，提出QED的朱利安·施溫格等人（1947年）所得的$g_{s}$理論值為$\left(2+{\frac {\alpha }{2\pi }}+O(\alpha ^{2})\right)\approx 2.002\ 319\ 304\ 402$；α目前被視為是自然常數之一，其值約為${\frac {1}{137.035\ 999\ 11(46)}}$。

威利斯·蘭姆等人實驗觀測到的蘭姆位移效應，所得$g_{s}$觀測值為$2.002\ 319\ 304\ 376\ 8(86)$，與理論相符精準度達小數點下第9位，展現出量子電動力學等現代物理理論所能達到的驚人精準預測程度。

其它粒子

一些粒子的朗德$g$因子列表如下：

NIST 提供的朗德$g$因子的值

粒子	朗德$g$因子	Δg
電子	-2.002 319 304 361 53	0.000 000 000 000 53
中子	-3.826 085 45	0.000 000 90
質子	5.585 694 713	0.000 000 046
μ子	-2.002 331 8418	0.000 000 0013

參見

• 波耳磁子
• 湯瑪斯進動
• 量子電動力學
• 電子自旋共振