對合

在數學中，對合（英語：involution）或對合函數，是逆函數等於自身的函數，就是說

f(f(x)) = x 對於所有 f 的定義域中的 x。

一般性質

對合是雙射。

恆等映射是一個對合的平凡例子。數學中更常見的有趣對合例子包括算術中的乘以 −1 和取倒數，集合論中的補集，和複共軛。

其他例子包括圓反演、ROT13變換，和 Beaufort 多字母表密碼.

歐幾里得幾何中的對合

三維歐幾里得空間中對合的簡單例子是對一個平面的反射。做兩次反射就回到了起點。

這個變換是仿射對合的特殊情況。

線性代數中的對合

在線性代數中，對合是線性算子 T 使得 $T^{2}=I$ 。除了在特徵 2的域上，這種算子可對角化為在對角線上有 1 和 -1。如果這個算子是正交的(正交對合)，它是正交可對角化的。

對合有關於冪等；如果 2 是可逆的，(在特徵不是 2 的領域中)，它們是等價的。

環論中的對合

在環論中，對合通常意味着是自己逆函數的自同態。例子包括復共軛和矩陣的轉置。

群論中的對合

在群論中，一個群的元素是對合，如果它的階為2；也就是說，對合是一個元素a，使得a ≠ e且a² = e，其中e是單位元。這個定義原來與以上的定義沒有任何不同，因為群的元素總是從一個集合到它本身的雙射，也就是說，「群」的意思是「置換群」。到了19世紀末，群的定義變得更加廣泛，相應地，對合也變得更加廣泛。由一個對合通過複合函數生成的雙射群，與循環群C₂同構。

一個置換是對合，當且僅當它可以寫成一個或多個不重合的對換的乘積。

群的對合對群的結構有很大影響。對合的研究在有限單群分類中是十分有用的。

數理邏輯中的對合

在布爾代數中補運算是對合。因此在經典邏輯中的否定滿足「雙重否定律」: ¬¬A 等價於 A。

一般在非經典邏輯中，滿足雙重否定律的的否定叫做對合性的。在代數語義中，這樣的否定被實現為在邏輯真值的代數上對合。有對合性否定的邏輯的例子有 Kleene 和 Bochvar 的三值邏輯、Łukasiewicz 多值邏輯、模糊邏輯 IMTL 等。對合性否定有時作為額外的連結詞而增加到有非對合性否定的邏輯中；比如形式模糊邏輯。

否定的對合性是邏輯和對應的代數簇的重要特徵性質。例如，對合性否定從Heyting代數中特徵化出了布爾代數。相應的，經典布爾邏輯可印發自直覺邏輯加上雙重否定律。

對合的總數

在有 n = 0, 1, 2, … 個元素的集合上對合的數目給出自遞推關係:

a(0) = a(1) = 1;

a(n) = a(n − 1) + (n − 1) × a(n − 2), 對於 n > 1.

這個序列的前幾項是 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232 （OEIS數列A000085）。

參見

自同構