同倫

同倫（英語：Homotopic^{[註 1]}）在數學和拓撲學上描述了兩個對象間的「連續變化」。兩個定義在拓撲空間之間的連續函數，如果其中一個能「連續地形變」為另一個，則這兩個函數稱為同倫的。這樣的形變稱為兩個函數之間的同倫。同倫的一個重要的應用是同倫群和上同倫群（英語：Cohomotopy group）的定義，它們是代數拓撲中重要的不變量（英語：Invariant (mathematics)）。

事實上，在特定的空間中應用同倫還有一些技術上的困難。代數拓撲學家一般使用緊生成空間、CW復形或譜（英語：Spectrum_(topology)）。

定義

兩個將環面映射到R³的嵌入之間的同倫：「咖啡杯的表面」與「甜甜圈的表面」。這也是一個同痕的例子。

給定兩個拓撲空間 $X\,\!$ 和 $Y\,\!$ 。考慮兩個連續函數 $f,\,g\,:\,X\rightarrow Y\,\!$ ，若存在一個定義在空間 X 與單位區間 [0,1] 的積空間上的連續映射 $H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!$ 使得：

$\forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!$
$\forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!$

則稱 $H$ 是 $f,\,g$ 之間的一個同倫^[1]^:183。

如果我們將 H 的第二個參數當作時間，這樣 H 相當於描述了一個從 f 到 g 的連續形變：0 時刻我們得到函數f，1 時刻我們得到函數 g。我們也可以將第二個參數視作一個可以滑動的「控制條」，當控制條從0滑動至1時，函數 f 平滑地轉變為函數 g，反之亦然。

另一種觀點是：對每個 $x\in X\,\!$ ，函數 $H\,\!$ 定義一條連接 $f(x)\,\!$ 與 $g(x)\,\!$ 的路徑：

\gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!

右側的循環動畫展示了兩個嵌入R³中的環面之間的同倫。X 是環面，Y 是 R³。f，g 是從環面到 R³的連續函數，當動畫開始時，f 把環面映射為嵌入的甜甜圈的表面。g 把環面映射為嵌入的咖啡杯表面。動畫展示了h_t(x)作為時間的函數時的圖像。每一次循環中，時間 t 從 0 變成 1，暫停一會，又從 1 變成 0。

性質

當且僅當存在同倫 H 將 f 變換為 g時，稱連續函數 f 和 g 是同倫的。同倫是 X 到 Y 上所有的連續函數之間的一種等價關係^[1]^:184。以下情形中，同倫關係滿足函數的複合：

如果 f₁, g₁ : X → Y 是同倫的，並且 f₂, g₂ : Y → Z 是同倫的，則他們的複合 f₂ ∘ f₁ 與 g₂ ∘ g₁ : X → Z 也是同倫的。

例子

例一：取 $X=\mathbb {R} \,\!$ , $Y=\mathbb {R} \,\!$ , $f(x)=1\,\!$ 及 $g(x)=-1\,\!$ 。則 $f\,\!$ 與 $g\,\!$ 透過下述函數在 $Y\,\!$ 中同倫。

H(x,t)=1-2t\,\!

（注意到此例子不依賴於變數

x

，通常並非如此。）

註：「在

Y

中同倫」的說法提示一個重點：在例一中若將

Y=\mathbb {R} \,\!

代為子空間

Y'=\mathbb {R} ^{*}\,\!

，則雖然

f\,\!

與

g\,\!

仍取值在

Y'\,\!

，但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。

例二：取 $X=[0,1]\,\!$ , $Y=\mathbb {C} \,\!$ , $f(x)=e^{2i\pi x}\,\!$ 及 $g(x)=0\,\!$ 。則 $f\,\!$ 描繪一個以原點為圓心的單位圓； $g\,\!$ 停在原點。 $f\,\!$ 與 $g\,\!$ 透過下述連續函數同倫：

H(x,t)=(1-t)e^{2i\pi x}\,\!

幾何上來看，對每個值

t\,\!

，函數

h_{t}(x)=H(x,t)\,\!

描繪一個以原點為圓心，半徑

1-t

的圓。

相對同倫

為定義高階基本群，必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化，正式定義是：設 $f,g:X\rightarrow Y$ 是連續函數，固定子空間 $K\subset X$ ；若存在前述同倫映射 $H:X\times [0,1]\rightarrow Y$ ，滿足：