單環

在環論中，若某非無零因子環除了零理想及其本身兩個理想外沒有其他雙邊理想，則稱該環為單環。特別地，交換環是單環當且僅當它是一個域。

單環的中心必是一個域，所以單環是該域上的一個結合代數。因此，單代數和單環是相同的概念。

此外，一些參考文獻（例如Lang（2002）或Bourbaki（2012））還要求該環是左阿廷環或右阿廷環（即半單環）。在這種術語下，沒有非平凡雙邊理想的非無零因子環被稱為準單環（quasi-simple）。

存在在自身上不是單模的單環，即單環可以有非平凡的左理想和/或右理想：例如域上的全矩陣環，它沒有非平凡理想（因為$M_{n}(R)$的任何理想都具有$M_{n}(I)$的形式，其中$I$是$R$的理想），但卻有非平凡的左理想（例如，某些固定列為零的矩陣組成的集合）。

根據阿廷-韋德伯恩定理，所有單左/右阿廷環都是除環上的矩陣環。特別地，如果一個單環是實數域上的有限維度向量空間，則它必然與實數域、複數域或四元數域上的矩陣環同構。

單環，但非除環上的矩陣環的一個例子是外爾代數。

特徵

如果一個環不包含非平凡的雙邊理想，則它是一個單代數。

單代數的直接示例是除法代數，其中每個非零元素都有一個乘法逆，比如四元數的實代數。此外，可以證明在除環中有元n  ×  n矩陣的代數是單代數。實際上，它可以描述所有有限維度的單代數，直到同構為止。換言之，在其中心上的任何有限維度單代數與某個除法環上的矩陣代數同構。1907年，約瑟夫·韋德伯恩在其博士學位論文《論超複數》中證明這一件事。該論文出現於倫敦數學學會論文集裡。韋德伯恩在其論文中分類了單和半單代數。單代數是半單代數的構建塊：在代數的意義上，任何有限維度的半單代數都是單代數的笛卡爾積。

後來阿廷-韋德伯恩定理將韋德伯恩的結果廣義化到半單環。

例子

• 一個中心單代數（有時稱為布饒爾代數）是一個域F上的有限維度單代數，且該域的中心為F。

設R為實數域，C為複數域，H為四元數域。

• R上的所有有限維度單代數都與R、C或H上的矩陣環同構。R上的所有中心單代數都與R或H上的矩陣環同構。這些結果由弗羅貝尼烏斯定理得出。
• C上的所有有限維度單代數都是中心單代數，與C上的矩陣環同構。
• 有限域上的所有有限維度的中心單代數都與該域上的矩陣環同構。
• 對於一個交換環，下列四個性質都是等價的：作為半單環、作為約化阿廷環、作為克魯爾維數為0的約化諾特環以及與域的有限直積同構。

韋德伯恩定理

主條目：阿廷-韋德伯恩定理

韋德伯恩定理描述具有可逆元素和最小左理想的環的特徵（左阿廷環的條件是第二條假設的廣義化）。也就是說，所有此類的環都是除環上的n × n矩陣，直至同構為止。

設D為一個除環，M_n(D)為D上有元矩陣的環。因此，可以證明M_n(D)中的所有左理想都用以下形式出現：

{M ∈ M_n(D) | M的第 n₁, ..., n_k行沒有元},

對於某個固定{n₁, ..., n_k} ⊆ {1, ..., n}。因此，M_n(D)中最小理想的格式為

{M ∈ M_n(D) | 除第k行外其餘所有行都沒有元},

對於某個給定的k。換言之，如果I是一個最小左理想，則I = M_n(D)e，其中e是一個冪等矩陣，在(k, k)元為1，在所有其他地方為0。此外，D與eM_n(D)e同構。左理想I可以視作eM_n(D)e上的右模。環M_n(D)與該模上同胚的代數同構。

以上例子引出了下列引理：

引理：A是一個單位為1，冪等元素為e的環，其中AeA = A。設I為左理想Ae，視作一個eAe上的右模。則A與I上同胚的代數同構，以Hom(I)表示。

證明：我們使用Φ(a)m = am定義「左規則表示」為Φ : A → Hom(I)，對於m ∈ I。Φ是單射的，因為如果a ⋅ I = aAe = 0，則aA = aAeA = 0，暗示a = a ⋅ 1 = 0。

對於滿射，設T ∈ Hom(I)。由於AeA = A，元素1可以表達成1 = Σa_ieb_i。因此

T(m) = T(1 ⋅ m) = T(Σa_ieb_im) = Σ T(a_ieeb_im) = Σ T(a_ie) eb_im = [ΣT(a_ie)eb_i]m.

由於表達式[ΣT(a_ie)eb_i]不取決於m，Φ是滿射的。引理證畢。

從以上引理可以得出韋德伯恩定理。

定理（韋德伯恩）：如果A是一個有單位1和最小左理想I的環，則A與除環上n × n矩陣的環同構。

證明eAe是一個除環，只需驗證引理的假設，即求一個冪等元素e使得I = Ae。表明A是單環後可以得出A = AeA這個假設。

參考文獻

• A. A. Albert, Structure of algebras, Colloquium publications 24, American Mathematical Society, 2003, ISBN 0-8218-1024-3.  P.37.
• Bourbaki, Nicolas, Algèbre Ch. 8 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-3-540-35315-7 
• Henderson, D.W. A short proof of Wedderburn's theorem. Amer. Math. Monthly. 1965, 72: 385–386. doi:10.2307/2313499. 
• Lam, Tsit-Yuen, A First Course in Noncommutative Rings 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2001, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0 
• Lang, Serge, Algebra 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0387953854 
• Jacobson, Nathan, Basic algebra II 2nd, W. H. Freeman, 1989, ISBN 978-0-7167-1933-5