伽羅瓦群

伽羅瓦群（法語：Groupe de Galois）是抽象代數中域論的概念，表示與某個類型的域擴張相伴的群，是伽羅瓦理論的基礎概念。域擴張源於多項式。通過伽羅瓦群研究域擴張以及多項式的理論，稱為伽羅瓦理論，是十九世紀法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦為了解決「高次多項式方程是否有根式解」的問題而創造的。後世也以他的名字命名相關的概念。

用置換群更初等地討論伽羅瓦群，參見伽羅瓦理論一文。

定義

設有域擴張 $L/K$ 。考慮所有 $L$ 上的 $K-$ 自同構集合。此處的 $K-$ 自同構指的是 $L$ 映射到 $L$ 的域同構，且其限制在 $K$ 上的部分是平凡的（即為恆等映射）。用數學語言描述，一個 $K-$ 自同構是指滿足以下條件的同態 $σ$ ^[1]^:15-16^[2]^:125：

$σ$ 是從 $L$ 映射到 $L$ 上的雙射。
$σ$ 是域同態，即： $\forall a,b,\in L,\;\sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b),\;\sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b).$
$σ$ 將所有 $K$ 中元素映射到其自身： $\forall x\in K,\;\sigma (x)=x.$

可以證明，對任意的域擴張 $L/K$ ，所有 $L$ 上的 $K-$ 自同構關於映射的複合運算構成群，稱為域擴張 $L/K$ 的自同構群，記作 $Aut(L/K)$ ^[1]^:16。

如果 $L/K$ 是一個伽羅瓦擴張，則 $Aut(L/K)$ 稱為擴張 $L/K$ 上的伽羅瓦群，通常記做 $Gal(L/K)$ （有些文獻中記作 $Gal(L : K)$ ）^[1]^:16。

在某些介紹伽羅瓦理論的專著中，也會將任何域擴張上的自同構群都稱為伽羅瓦群，並記作 $Gal(L/K)$ $σ$ ^[2]^:125。

例子

設 $F$ 是一個域， $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ 分別為有理數、實數與複數域。 $F (a)$ 表示在 $F$ 中添加元素 $a$ 生成的域擴張。

$F/F$ 是平凡擴張，也是可分正規擴張，即伽羅瓦擴張。其伽羅瓦群 $Gal(F / F)$ 是只包含一個元素（即恆等映射）的平凡群。
$\mathbb {C} /\mathbb {R}$ 是次數為2的伽羅瓦擴張。其伽羅瓦群 $\mathrm {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )$ 有兩個元素，恆等映射與復共軛自同構^[2]^:127。
$\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ 不是伽羅瓦擴張。其自同構群 $\mathrm {Gal} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} )$ 是只包含恆等映射的平凡群。事實上可以證明，任何在 $\mathbb {Q}$ 上為恆等映射的 $\mathbb {R}$ 到 $\mathbb {R}$ 的自同構，都保持實數的序結構。也就是說，只要某個自同構 $σ$ 將每個有理數都映射到自身，那麼對任何 $a < b$ ，都有 $σ (a) < σ (b)$ 。這說明此自同構在整個實數集上都是恆等映射。

$\mathbb {C} /\mathbb {Q}$ 是無限伽羅瓦擴張。其伽羅瓦群是無限群。
$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$ 是次數為2的伽羅瓦擴張。其伽羅瓦群 $\mathrm {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )$ 有兩個元素，恆等映射與將 $\sqrt 2$ 與 $- \sqrt 2$ 互換的自同構^[2]^:127。
考慮域 $K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 。 $K/\mathbb {Q}$ 不是正規擴張，故不是伽羅瓦擴張。其自同構群 $\mathrm {Aut} (K/\mathbb {Q} )$ 只包含恆等映射^[2]^:127。
現在考慮 $L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )$ ，這裡 $ω$ 是本原三次單位根。 $L$ 是有理數域上不可約的多項式 $P = X 3 - 2$ 的分裂域，因此是伽羅瓦擴張。其伽羅瓦群 $\mathrm {Gal} (K/\mathbb {Q} )$ 同構於3次置換群 $S$ ₃。這個群是可解群，意味着多項式方程 $X 3 - 2 = 0$ 能用根式求解^[1]^:52-53。

基本性質

設有域擴張 $L/K$ ，則其自同構群 $Aut(L/K)$ 滿足：

設 $P$ 是一個以 $K$ 中元素為係數的多項式。 $α$ ∈ $L$ 是它的一個根，則自同構群中任一個元素 $σ$ 仍將 $α$ 映射到 $P$ 的根上^[2]^:126。
如果 $L/K$ 是有限生成的域擴張，即存在 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{m}\in L$ ，使得 $L = K (α 1, α 2, ... , α m)$ ，那麼自同構群中任一個元素 $σ$ 被這些元素唯一決定。也就是說，如果知道了 $σ (α 1), σ (α 2), ... , σ (α m))$ 的取值，就能知道 $σ$ 作用在 $L$ 中任何元素上的結果^[2]^:126。
有限擴張的自同構群是有限群^[2]^:126，其元素個數 $|Aut(L/K)|$ 整除擴張次數 $[L : K]$ ，因此小於等於 $[L : K]$ 。兩者相等當且僅當 $L/K$ 是伽羅瓦擴張^[2]^:150。

設域擴張 $L/K$ 為伽羅瓦擴張。以下的性質均可以在沒有伽羅瓦理論基本定理的情況下證明。

$|\mathrm {Gal} (L/K)|=[L:K]$ ^[2]^:130
令 $G=\mathrm {Gal} (L/K)$ ，則 $G$ 的不變域，即 $L^{G}=\{x\in L|\forall \sigma \in G,\sigma (x)=x\}$ ，是 $K$ 。反之，如果有限擴張 $L/K$ 的自同構群的不變域是 $K$ ，那麼它是伽羅瓦擴張。^[2]^:150
設 $F$ 是一個域並且複合域 $LF$ 存在。那麼 $\mathrm {Gal} (LF/F)\hookrightarrow \mathrm {Gal} (L/K)$ ，即 $Gal(LF/F)$ 和 $Gal(L/K)$ 的一個子群同構。（由正規擴張和可分擴張的性質， $KF/F$ 是一個伽羅瓦擴張，因此可以討論 $Gal(LF/F)$ ）

伽羅瓦擴張的重要性在於，有限的伽羅瓦擴張滿足伽羅瓦理論基本定理：伽羅瓦群的子群與域擴張的中間域之間存在着反向包含的一一對應關係。

如果 $Gal(L/K)$ 是伽羅瓦擴張，則伽羅瓦群 $Gal(L/K)$ 上可以裝備一個拓撲，稱為克魯爾拓撲（英語：Krull topology），使其成為一個投射有限群（英語：profinite group）。在此拓撲下，即便 $Gal(L/K)$ 是無限擴張，其伽羅瓦群的閉子群與域擴張的中間域存在着反向包含的一一對應關係，有類似伽羅瓦理論基本定理的結論。

參見

參考來源

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Patrick Morandi. Fields and Galois Theory. Springer（插圖版）. 1996. ISBN 9780387947532 （英語）.
^ ^2.00 ^2.01 ^2.02 ^2.03 ^2.04 ^2.05 ^2.06 ^2.07 ^2.08 ^2.09 ^2.10 David A. Cox. Galois Theory. John Wiley & Sons, 1st Edition. 2004 [2014-06-14]. ISBN 9780471434191. （原始內容存檔於2014-07-14）（英語）.

外部連結

Galois Groups（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at MathPages

[gtm167-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Patrick Morandi. Fields and Galois Theory. Springer（插圖版）. 1996. ISBN 9780387947532 （英語）.

[cox-2] 2.00 ^2.01 ^2.02 ^2.03 ^2.04 ^2.05 ^2.06 ^2.07 ^2.08 ^2.09 ^2.10 David A. Cox. Galois Theory. John Wiley & Sons, 1st Edition. 2004 [2014-06-14]. ISBN 9780471434191. （原始內容存檔於2014-07-14）（英語）.

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