一元布爾代數

在抽象代數中，一元布爾代數是帶有如下標識（signature）的代數結構

<A, ·, +, ', 0, 1, ∃> 有型 <2,2,1,0,0,1>，

這裡的 <A, ·, +, ', 0, 1> 是布爾代數。

前綴一元算子 ∃ 指示存在量詞，它滿足恆等式：

1. ∃0 = 0
2. ∃x ≥ x
3. ∃(x + y) = ∃x + ∃y
4. ∃x∃y = ∃(x∃y).

∃x 是 x 的「存在閉包」。對偶於 ∃ 的是一元算子 ∀，它是全稱量詞，定義為 ∀x := (∃x' )'。

一元布爾代數有對偶公式，取 ∀ 為原始，把 ∃ 定義為 ∃x := (∀x ' )' 。所以對偶的代數有標識 <A, ·, +, ', 0, 1, ∀>，帶有 <A, ·, +, ', 0, 1> 是布爾代數。此外，∀ 滿足上面恆等式的對偶版本：

1. ∀1 = 1
2. ∀x ≤ x
3. ∀(xy) = ∀x∀y
4. ∀x + ∀y = ∀(x + ∀y).

∀x 是 x 的「全稱閉包」。

討論

一元布爾代數與拓撲學有重要聯繫。如果 ∀ 被解釋為拓撲學的內部算子，上面的（1）-（3）公理加上公理 ∀(∀x) = ∀x 建成了內部代數的公理。但是 ∀(∀x) = ∀x 不能從 (1)-(4) 來證明。此外，一元布爾代數的另一個可供選擇的公理化組成自（重解釋的）內部代數的公理加上 ∀(∀x)' = (∀x)' (Halmos 1962: 22)。所以一元布爾代數是半單純的內部／閉包代數使得：

• 全稱（對偶的存在）量詞解釋內部算子（閉包算子）;
• 所有開放（或閉合）元素也是閉開的。

一元布爾代數的更簡潔的公理化是上述 (1) 和 (2) 加上 ∀(x∨∀y) = ∀x∨∀y (Halmos 1962: 21)。這個公理化模糊了與拓撲學的聯繫。

一元布爾代數形成了一個簇。它們對應一元謂詞邏輯，而布爾代數對應於命題邏輯，而多元代數對應於一階邏輯。Paul Halmos 在研究多元代數的時候發現了一元布爾代數；Halmos (1962) 再版了相關的論文。

一元布爾代數還與模態邏輯有重要聯繫。模態邏輯 S5，被看作 S4 中一個理論，是一元布爾代數的模型，如同模態邏輯 S4 是內部代數的模型。類似的，一元布爾代數為 S5 提供了代數語義。所以 S5-代數是一元布爾代數的同義詞。

參見

• 一元邏輯
• 模態邏輯
• 內部代數
• 閉集

引用

• Paul Halmos，1962. Algebraic Logic. New York: Chelsea.
• ——and Steven Givant, 1998. Logic as Algebra. Mathematical Association of America.