黑林格-特普利茨定理

叙述

设 ${\mathcal {H}}$ 为希尔伯特空间， $T:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ 是处处定义的对称线性算子，即对任意 $x,\,y\in {\mathcal {H}}$ 都有等式

\langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle

。

那么， $T$ 有界（因此也是连续）。

从闭图像定理可知，只需证明：如果序列 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 趋于0， $y:=\lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n}$ ，那么 $y=0$ 。因为内积在 ${\mathcal {H}}$ 上连续，故得

{\begin{aligned}\langle y,y\rangle &=\langle \lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n},y\rangle \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\langle Tx_{n},y\rangle \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\langle x_{n},Ty\rangle \\&=\langle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n},Ty\rangle \\&=\langle 0,Ty\rangle \\&=0\end{aligned}}

所以 $y=0$ 。

这定理带出了量子力学的数学基础的一些技术难题。量子力学中的可观察量对应到某个希尔伯特空间上的自伴算符，但一些可观察量（如能量）的算符是无界的。这定理说这些算符不能处处定义，只能定义在稠密子集上。

以量子谐振子为例。这时希尔伯特空间是 $L^{2}(\mathbb {R} )$ ，即 $\mathbb {R}$ 上平方可积函数空间，能量算符 $H$ 定义为（设其单位选取使得 $\hbar =m=\omega =1$ ）

[Hf](x)=-{\frac {1}{2}}{\frac {{\mbox{d}}^{2}}{{\mbox{d}}x^{2}}}f(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}f(x).

这算符是自伴无界的（其特征值为1/2, 3/2, 5/2, ...），所以不能在整个 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 上定义。