麦克斯韦应力张量

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

詹姆斯·马克士威

在电磁学里，马克士威应力张量(Maxwell stress tensor)是描述电磁场带有之应力的二阶张量。马克士威应力张量可以表现出电场力、磁场力和机械动量之间的相互作用。对于简单的状况，例如一个点电荷自由地移动于均匀磁场，应用劳仑兹力定律，就可以很容易地计算出点电荷所感受的作用力。但是，当遇到稍微复杂一点的状况时，这很普通的程序会变得非常困难，方程式洋洋洒洒地一行又一行的延续。因此，物理学家通常会聚集很多项目于马克士威应力张量内，然后使用张量数学来解析问题。

导引

为了方便参考，先列出马克士威方程组：

马克士威方程组（国际单位制）

名称	微分形式
高斯定律	${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
高斯磁定律	${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} =0$
法拉第感应定律	${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
马克士威-安培定律	${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\$

其中，$\mathbf {E}$ 是电场，$\mathbf {B}$ 是磁场，$\rho$ 是电荷密度，$\mathbf {J}$是电流密度，$\varepsilon _{0}$ 是电常数，$\mu _{0}$ 是磁常数。

从劳仑兹力定律开始，一个电荷分布所感受到的单位体积的作用力 $\mathbf {f}$ 是

$\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B}$ 。

应用高斯定律和马克士威-安培定律，把电荷密度和电流密度替换掉，只让电场和磁场出现于方程式：

$\mathbf {f} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B}$ 。

应用乘积法则和法拉第感应定律：

${\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )$ ，

稍加编排，将 $\mathbf {f}$ 写为

${\begin{aligned}\mathbf {f} &=\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\epsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\\&=\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)\\\end{aligned}}$ 。

为了使 $\mathbf {E}$ 的项目 $\mathbf {B}$ 的项目能够相互对称，加入一个 $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ 项目：

$\mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)$ 。

应用向量恒等式，对于任意向量 $\mathbf {A}$

$\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}A^{2}-(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A}$，

将 $\mathbf {f}$ 的方程式内的旋度项目除去：

$\mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)$ 。

这方程式最右边项目涉及了坡印廷向量 $\mathbf {S}$ ：

$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B}$ 。

设定马克士威应力张量 ${\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}$ （以英文字母上面加两只箭矢符号来标记二阶张量）：

$T_{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)$ ；

其中，$\delta _{ij}$ 是克罗内克函数。

定义一个向量 $\mathbf {A}$ 与马克士威应力张量 ${\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}$ 的内积为

$(\mathbf {A} \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }})_{j}=\textstyle {\sum _{i}}\ A_{i}T_{ij}$ 。

那么，一个电荷分布所感受到的单位体积的作用力 $\mathbf {f}$ 是

$\mathbf {f} =\nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}$ 。

马克士威应力张量的性质

马克士威应力张量是一个对称张量，表达为

$T_{ij}=\left({\begin{matrix}\epsilon _{0}(E_{x}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}^{2}-B^{2}/2)&\epsilon _{0}E_{x}E_{y}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}B_{y})&\epsilon _{0}E_{x}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}B_{z})\\\epsilon _{0}E_{x}E_{y}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}B_{y})&\epsilon _{0}(E_{y}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{y}^{2}-B^{2}/2)&\epsilon _{0}E_{y}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{y}B_{z})\\\epsilon _{0}E_{x}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}B_{z})&\epsilon _{0}E_{y}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{y}B_{z})&\epsilon _{0}(E_{z}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{z}^{2}-B^{2}/2)\end{matrix}}\right)$ 。

马克士威应力张量的单位是牛顿／公尺²。马克士威应力张量的 ij 元素诠释为，朝著 i-轴方向，施加于 j-轴的垂直平面，单位面积的作用力；对角元素代表负压力，非对角元素代表剪应力。对角元素给出张力（拖拉力）作用于其对应轴的垂直面微分元素。不同于理想气体因为压力而施加的作用力，在电磁场内的一个面元素也会感受到方向不垂直于其面的剪应力。这是由非对角元素给出的。

动量守恒定律

在一个体积 ${\mathcal {V}}$ 内的电荷，所感受到的总作用力 $\mathbf {F}$ 是

$\mathbf {F} =\int _{\mathcal {V}}\ \mathbf {f} \mathrm {d} \tau =\int _{\mathcal {V}}\ \nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}\mathrm {d} \tau -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathcal {V}}\ \mathbf {S} \mathrm {d} \tau$ 。

应用散度定理，可以得到

$\mathbf {F} =\oint _{\mathcal {S}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathcal {V}}\ \mathbf {S} \mathrm {d} \tau$ ；

其中，${\mathcal {S}}$ 是体积 ${\mathcal {V}}$ 的闭合表面。

根据牛顿第二定律，

$\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ ；

其中，$\mathbf {p}$ 是动量。

所以，电荷的动量 $\mathbf {p} _{charge}$ 可以表达为

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{charge}}{\mathrm {d} t}}=\oint _{\mathcal {S}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{em}}{\mathrm {d} t}}$；

其中，$\mathbf {p} _{em}=\epsilon _{0}\mu _{0}\oint _{\mathcal {V}}\ \mathbf {S} \mathrm {d} \tau$ 是储存于电磁场的动量（坡印廷向量 $\mathbf {S}$ 是由电场和磁场组成的一个复合向量）。

稍加编排，可以得到动量守恒定律的积分方程式：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} _{charge}+\mathbf {p} _{em})=\oint _{\mathcal {S}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a}$ 。

动量守恒定律阐明，一个体积的总动量（电荷的动量加上电磁场的动量）的增加速率等于每秒钟流入闭合表面的动量。负的马克士威应力张量 $-$${\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}$ 是一个动量通量密度。

动量守恒定律也能以微分形式表达为

${\frac {\partial }{\partial t}}({\mathfrak {p}}_{charge}+{\mathfrak {p}}_{em})=\nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}$ ；

其中，${\mathfrak {p}}_{charge}$ 是电荷的动量密度，${\mathfrak {p}}_{em}$ 是电磁场的动量密度。

相关条目

• 电磁能量密度
• 坡印廷向量
• 电磁应力-能量张量
• 电磁场的数学表述

参考文献

• Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 351–356. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Jefimenko, Oleg. Correct Use of Maxwell Stress Equations for Electric and magnetic Fields. American Journal of Physics. Nov 1983, 51 (11): pp. 988–996.  引文格式1维护：冗余文本 (link)