纤维丛

纤维束（fiber bundle 或 fibre bundle）又称纤维丛，在数学上，特别是在拓扑学中，是一个局部看来像直积空间，但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛对应一个连续满射

$\pi :E\rightarrow B$

$E$ 和乘积空间 $B\times F$ 的局部类似性可以用映射 $\pi$ 来说明。也就是说：在每个 $E$ 的局部空间 $U$ ，都存在一个相同的 $F$ （ $F$ 称作纤维空间），使得 $\pi$ 限制在 $U$ 上时　与直积空间 $B\times F$ 的投影 $P:B\times F\mapsto B,\quad P(b,f)=b$ 　相似。（通常会用此满射： $\pi :E\rightarrow B$ 来表示一个纤维丛，而忽略 $F$ ）

如果 $E=B\times F$ ，也就是一个可以整体上等于乘积空间的丛叫做平凡丛（trivial bundle）。

纤维丛扩展了向量丛(vector bundle)，向量丛的主要实例就是流形的切丛（tangent bundle）。他们在微分拓扑和微分几何领域有着重要的作用。他们也是规范场论的基本概念。

正式定义

一个纤维丛由四元组（ $E$ , $B$ , $\pi$ , $F$ ）组成，其中 $E$ , $B$ , $F$ 是拓扑空间而 $\pi :E\rightarrow B$ 是一个连续满射，满足下面给出的局部平凡（local triviality）条件。 $B$ 称为丛的基空间（base space）， $E$ 称为总空间（total space），而 $F$ 称为纤维（fiber）。映射 $\pi$ 称为投影映射.下面我们假定基空间 $B$ 是连通的。

我们要求对于 $B$ 中的每个点 $x$ ，存在一个在 $B$ 中包含 $x$ 的开邻域 $U$ ，并有一个同胚映射 $\varphi :\pi ^{-1}(U)\rightarrow U\times F$ (显然 $U\times F$ 是一个乘积空间) ， $\varphi$ 并且要满足 $\textstyle \pi (y)=\operatorname {proj} _{1}\circ \phi (y),\,\forall y\in \pi ^{-1}(U)$ ，也就是下图是可交换的：

其中 $\operatorname {proj} _{1}:U\times F\rightarrow U$ 是自然投影而 $\varphi :\pi ^{-1}(U)\rightarrow U\times F$ 是一个同胚（这里的局部平凡条件有些书会定义为 $\textstyle x=\pi \circ \varphi ^{-1}(x,f),\,\forall x\in U,f\in F$ ）。所有 $\{(U_{i},\varphi _{i})\}$ 的集合称为丛的局部平凡化。

对于 $B$ 中每点 $p$ ，原象（preimage） $\pi ^{-1}(p)$ 和 $F$ 同胚并称为点 $p$ 上的纤维。一个纤维丛（ $E$ , $B$ , $\pi$ , $F$ ）经常记为

F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B

以引入一个空间的短恰当序列。注意每个纤维丛 $\pi :E\rightarrow B$ 都是一个开映射，因为积空间的投影是开映射。所以 $B$ 有由映射 $\pi$ 决定的商拓扑(quotient topology).

一个光滑纤维丛是一个在光滑流形的范畴内的纤维丛。也就是， $E$ , $B$ , $F$ 都必须是光滑流形且所有上面用到的函数都必须是光滑映射。

例子

令 $E=B\times F$ 并令 $\pi :E\rightarrow B$ 为对第一个因子的投影，则 $E$ 是 $B$ 上的丛。这里 $E$ 不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为平凡丛。

最简单的非平凡丛的例子可能要算莫比乌斯带（Möbius strip）。莫比乌斯带是一个以圆为基空间 $B$ 并以线段为纤维 $F$ 的丛。对于一点 $x\in B$ 的邻域是一段圆弧；在图中，就是其中一个方块的长。原象 $\pi ^{-1}(U)$ 在图中是个（有些扭转的）切片，4个方块宽一个方块长。同胚 $\varphi$ 把 $U$ 的原象映到柱面的一块：弯曲但不扭转。

相应的平凡丛 $B\times F$ 看起来像一个圆柱，但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来；局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样（在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间）。

一个类似的非平凡丛是克莱因瓶，它可以看作是一个“扭转”的圆在另一个圆上的丛。相应的平凡丛是一个环， $S^{1}\times S^{1}$ 。

一个覆盖空间是一个以离散空间为纤维的纤维丛。

纤维丛的一个特例，叫做向量丛,是那些纤维为向量空间的丛（要成为一个向量丛，丛的结构群—见下面—必须是一个线性群）。向量丛的重要实例包括光滑流形的切丛和余切丛。

另一个纤维丛的特例叫做主丛。更多的例子参看该条目。

一个球丛是一个纤维为n维球面的纤维丛。给定一个有度量的向量丛（例如黎曼流形的切丛），可以构造一个相应的单位球丛，其在一点 $x$ 的纤维是所有 $E_{x}$ 的单位向量的集合.

截面

纤维丛的截面（section或者cross section）是一个连续映射 $f:B\rightarrow E$ 使得 $\pi (f(x))=x$ 对于所有 $B$ 中的 $x$ 成立。因为丛通常没有全局有定义的截面，理论的一个重要作用就是检验和证明他们的存在性。这导致了代数拓扑的示性类理论。

截面经常只被局部的定义（特别是当全局截面不存在时）。纤维丛的局部截面是一个连续映射 $f:U\rightarrow E$ 其中 $U$ 是一个 $B$ 中的开集而 $\pi (f(x))=x$ 对所有 $U$ 中的 $x$ 成立。若 $(U,\varphi )$ 是一个局部平凡化图，则局部截面在 $U$ 上总是存在的。这种截面和连续映射 $U\rightarrow F$ 有1-1对应。截面的集合组成一个层（sheaf）。

结构群和转移函数

纤维丛经常有一个对称群描述重叠的图之间的相容条件。特别的，令 $G$ 为一个拓扑群，它连续的从左边作用在纤维空间 $F$ 上。不失一般性的，我们可以要求 $G$ 有效的作用在 $F$ 上，以便把它看成是 $F$ 的同胚群。纤维丛的一个 $G$ -图册（ $E$ , $B$ , $\pi$ , $F$ ）是之前定义过的局部平凡化并且满足：对任何两个重叠的局部平凡化中的元素也就是图 $(U_{i},\varphi _{i})$ 和 $(U_{j},\varphi _{j})$ 且 $U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset$ ，则函数

\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:(U_{i}\cap U_{j})\times F\to (U_{i}\cap U_{j})\times F

是由以下方式给出：

\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\xi )=(x,t_{ij}(x)\xi ),\quad \forall x\in U_{i}\cap U_{j},\xi \in F

其中 $t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G$ 是一个称为转移函数（transition function）的连续映射。两个 $G$ -图册是等价的如果他们的联集也是 $G$ -图册。一个 $G$ -丛是有 $G$ -图册等价类的纤维丛。群 $G$ 称为该丛的结构群（structure group）。

在光滑范畴中，一个 $G$ -丛是一个光滑纤维丛，其中 $G$ 是一个李群而相应的在 $F$ 上的作用是光滑的并且变换函数都是光滑映射。

转移函数 $t_{ij}$ 满足以下条件

$t_{ii}(x)=1$
$t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}$
$t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x)$

第三个条件用到三个相交的 $U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$ 上叫做上链条件（cocycle condition，见Čech上同调）。

一个主丛是一个 $G$ -丛，其纤维可以认为是 $G$ 本身，并且有一个在全空间上的 $G$ 的右作用保持纤维不变。

参见

外部链接

PlanetMath: Fiber Bundle
MathWorld: Fiber Bundle （页面存档备份，存于互联网档案馆）

参考

Norman Steenrod, The Topology of Fiber Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7. See chapter one.