有限体积法

有限体积法（ 英文：finite volume method ）是一种以数值方法解偏微分方程的计算方式。 在有限体积法中，将要描述的物理实体切分为网格单元来描述，并使用发散定理，将所有包含发散项的偏微分方程中的体积积分转换为表面积分。然后将每个网格的项加总，便成为每个有限体积表面的通量。因为进入给定体积的通量与离开相邻体积的通量相同，所以这些方法是守恒的。该方法用于许多计算流体动力学软体。

有限体积法常被拿来与有限元素分析做比较，后者使用节点值来近似导数，或者使用有限元方法来使用局部数值来逼近解的局部近似值，并通过将它们加总在一起来形成全域近似值。另一方面，有限体积法会计算某个体积中的网格解之平均，然后使用此平均值来决定单元内解的近似值。

举例

一维平流问题：

$\quad (1)\qquad \qquad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}=0,\quad t\geq 0.$

$\rho =\rho \left(x,t\right)\$在这里代表状态变量， $f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)\$代表的通量或流量$\rho \$ 。习惯上，$f\$正值代表向右流动，而$f\$负值代表向左流动。如果假设式（1）表示恒定面积的流动介质，则可以空间域 $x\$ ，细分为数个网格单元，以每个网格单元所占的有限体积以$i\$作为标记 。对于特定的单元$i\$ ，我们可以定义该体积某物理量（ 压力、温度等 ）之通量或流量平均值${\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)\$在时间${t=t_{1}}\$和${x\in \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}\$ ，如式（2）

$\quad (2)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx,$

而在时间${t=t_{2}}\$时式（2）可写为：

$\quad (3)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{2}\right)\,dx,$

此处$x_{i-{\frac {1}{2}}}\$和$x_{i+{\frac {1}{2}}}\$分别代表上游和下游面或网格单元的交界面位置$i^{th}\$。

将式（1）积分，可得：

$\quad (4)\qquad \qquad \rho \left(x,t_{2}\right)=\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)\,dt,$

当$f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}$ 。

为了得到在时间$t=t_{2}\$ 的有限体积平均值$\rho \left(x,t\right)$，在此积分位于整个有限体积的所有网格的流量$\rho \left(x,t_{2}\right)$，并$\left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]$并将计算结果除以$\Delta x_{i}=x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}$ ，即可得：

$\quad (5)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)dt\right\}dx.$

我们可以逆向积分的顺序。同样，请记住，流量垂直于单元的表面。现在，因为一维$f_{x}\triangleq \nabla \cdot f$ ，我们可以应用散度定理，即$\oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS$ ，并用的值代替散度的体积积分$f(x)\$在网格单元表面计算（某单元与其他单元之前后交界面$x_{i-{\frac {1}{2}}}\$和$x_{i+{\frac {1}{2}}}\$ ）的有限体积如下：

$\quad (6)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+{\frac {1}{2}}}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-{\frac {1}{2}}}dt\right).$

当$f_{i\pm {\frac {1}{2}}}=f\left(x_{i\pm {\frac {1}{2}}},t\right)$ 。

因此，对于上述问题，我们可以得出一个半离散的数值格式，其单元中心的索引为$i\$ ，且单元交界面通量的索引为$i\pm {\frac {1}{2}}$ ，通过对时间对式（6）进行微分，可得：

$\quad (7)\qquad \qquad {\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+{\frac {1}{2}}}-f_{i-{\frac {1}{2}}}\right]=0,$

通过某单元交界面通量的值$f_{i\pm {\frac {1}{2}}}$可以通过对单元平均值进行内插或外推来获得。式（7）对于该有限体积的平均值是精确的，因为在推导过程中未进行任何近似。

该方法也可以应用于2D形况，只要同时考虑单元四周交界面，北面、南面、东面和西面即可。

一般守恒法则

我们还可以考虑以下PDE代表的一般守恒定律问题，

$\quad (8)\qquad \qquad {{\partial {\mathbf {u} }} \over {\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)={\mathbf {0} }.$

此处 ${\mathbf {u} }\$代表状态向量$\mathbf {f} \$代表相应的通量张量。同样，我们可以将空间域细分为有限体积的网格单元。对于特定的网格单元$i\$ ，将体积积分乘以单元的总体积 $v_{i}\$ ， 如式（9）。

$\quad (9)\qquad \qquad \int _{v_{i}}{{\partial {\mathbf {u} }} \over {\partial t}}\,dv+\int _{v_{i}}\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\,dv={\mathbf {0} }.$

将第一项积分可得体积平均值，然后将散度定理应用于第二项，可得：

$\quad (10)\qquad \qquad v_{i}{{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} },$

此处$S_{i}\$代表单元的总表面积， ${\mathbf {n} }$是垂直于表面并指向外的单位向量。最后，可得一般结果如式（11）。

$\quad (11)\qquad \qquad {{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+{{1} \over {v_{i}}}\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} }.$

同样的，可以通过对单元平均值进行内插或外推来重建交界面通量的值。实际的数值将取决于问题的几何形状和軮格结构。

有限体积方案是守恒的，因为单元平均会通过交界面通量而变化。换句话说，某个单元所损失的物理量，必定会通过交界面而被另一单元所获得！

相关文献

• Eymard, R. Gallouët, T. R., Herbin, R. (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
• Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, Wiley.
• Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
• LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws, ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
• LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
• Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere.
• Tannehill, John C., et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2nd Ed., Taylor and Francis.
• Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.
• Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

外部链接

• Finite volume methods （页面存档备份，存于互联网档案馆） by R. Eymard, T Gallouët and R. Herbin, update of the article published in Handbook of Numerical Analysis, 2000
• Rübenkönig, Oliver. The Finite Volume Method (FVM) – An introduction. （原始内容存档于2009-10-02）. , available under the GFDL.
• FiPy: A Finite Volume PDE Solver Using Python （页面存档备份，存于互联网档案馆） from NIST.
• CLAWPACK （页面存档备份，存于互联网档案馆）: a software package designed to compute numerical solutions to hyperbolic partial differential equations using a wave propagation approach