恒等函数
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恒等函数（英语：Identity function）是数学中对于传回和其输入值相同的函数的称呼。换句话说，恒等函数为函数。
| 各种函数 |
|---|
| x ↦ f (x) |
| 不同定义域和陪域 |
| 函数类/性质 |
| 构造 |
| 推广 |
定义
[编辑]设M为一集合，于M上的恒等函数f被定义于一具有定义域和陪域M的函数，其对任一M内的元素x，会有的关系。
于M上的恒等函数f通常标记为或。
代数性质
[编辑]设f : M → N为任一函数，则会有f o idM = f = idN o f（其中"o"为函数复合）。特别地是，idM会是所有由M至M的函数所组成之幺半群的单位元。
因为幺半群的单位元是唯一的，也可以反过来把M上的恒等函数定义为这个幺半群的单位元。此一定义广义化成了于范畴论中恒等态射的概念，其中M的自同态并不必然是函数。
例子
[编辑]- 于正整数上的恒等函数为一数论中的完全积性函数。
- 在任意一个 n 维向量空间内，恒等函数表示成单位矩阵In，不论其基为何。
- 在任意一个度量空间，恒等函数很当然地为等距同构。一无任何对称的物件会有一对称群，即只包含这个恒等函数的平凡群C1。