外尔特征标公式

外尔特征标公式（Weyl's character formula) 描述紧李群不可约表示的特征标。其名来自证明者赫尔曼·外尔。

定义：群G的表示r的特征标为一函数 $\chi :G\rightarrow C$，$\chi (g):=Tr(r(g))$，其中Tr 为线性算子之迹。 （由彼得-外尔定理 可知紧李群的任何不可约表示都是有限维的；故迹之定义为线性代数中之定义。）

特征标 χ 记住了表示 r 本身的重要讯息。 外尔特征标公式用群G的其他资料来表达 χ 。 本文考虑复表示，不失一般亦设其为酉表示，因而“不可约”亦等价于“不可分解”（即非二子表示之直和）。

公式

紧李群G 之不可约表示之特征标符合下式：

${\sum _{w\in W}(-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda +\rho }) \over e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}$

其中

• ρ 为群G 之外尔向量，即各正根之和之半；
• W 为 外尔群；
• λ 为不可约表示之 最高权；
• α 遍历G之每一正根。

外尔分母公式

在 1 维表示的特例中，特征标为 1, 而外尔特征标公式简化成 外尔分母公式：

${\sum _{w\in W}(-1)^{\det(w)}w(e^{\rho })=e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}.$

若G为特殊幺正群，则简化成范德蒙行列式的等式：

$\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\alpha _{1}^{\sigma (1)-1}\cdots \alpha _{n}^{\sigma (n)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})$。

外尔维度公式

若只考虑单位元1之迹，则外尔特征标公式 特殊化成 外尔维数公式

$\dim(V_{\Lambda })={\prod _{\alpha >0}(\Lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha >0}(\rho ,\alpha )}$,

$\dim(V_{\Lambda })={\prod _{\alpha >0}(\Lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha >0}(\rho ,\alpha )}$

其中

• V_Λ为有限维表示，其最高权为Λ；
• ρ为外尔向量，
• α 遍历所有正根。

由于式中分子与分母俱为高阶零，故必须取G中之元素渐近单位元1时之极限。

Freudenthal 公式

Hans Freudenthal发现了权重数符合之一递归公式。此公式等价于外尔特征标公式，而在某些情况下更简便。式曰：

$((\Lambda +\rho )^{2}-(\lambda +\rho )^{2})\dim V_{\lambda }=2\sum _{\alpha >0}\sum _{j\geq 1}(\lambda +j\alpha ,\alpha )\dim V_{\lambda +j\alpha }$；

其中

• Λ 为一最高权，
• λ 为另一权，
• dim V_λ 为权λ 之重数，
• ρ 为外尔向量，
• 外和中之 α 历遍所有正根。

外尔-Kac 特征标公式

外尔特征标公式 亦适用于卡茨-穆迪代数之可积最高权表示 ——外尔-Kac 特特征标公式。同样地，分母恒等式亦可推广至卡茨-穆迪代数，其在仿射李代数之特例成为Macdonald 恒等式。其在 A₁ 仿射李代数之例成为经典的 雅可比三重乘积恒等式：

$\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1-x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y^{n}.$

此特征公式可推广至广义卡茨-穆迪代数之可积最高权表示：

${\sum _{w\in W}(-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}$

其中 S 为一修正项：

$S=\sum _{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}$

其中 I历遍虚简单根集内 所有与最高权$\lambda$ 正交、且互相正交之有限子集；|I| 集 I 之基数，而 ΣI为集 I 内元素之和。

而Monster 李代数之 分母公式 则为椭圆模函数j之积公式：

$j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}$。

Peterson 发现了（广义）可对称化卡茨-穆迪代数之根重数 mult(β) 递归公式。此公式等价于外尔-卡茨分母公式，但更便于计算：

$(\beta ,\beta -2\rho )c_{\beta }=\sum _{\gamma +\delta =\beta }(\gamma ,\delta )c_{\gamma }c_{\delta }$,

其中γ 与 δ 遍历所有正根，而

$c_{\beta }=\sum _{n\geq 1}{{\rm {mult}}(\beta /n) \over n}$。

参考

• Infinite dimensional Lie algebras, V. G. Kac, ISBN 0-521-37215-1
• Duncan J. Melville, Weyl–Kac character formula, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4