可观察量

斯特恩-革拉赫实验仪器，可以将入射的银原子束，分裂成两道银原子束，一道银原子束的$S_{z}$为上旋，另一道银原子束的$S_{z}$为下旋。在这里，$S_{z}$是可观察量。

在物理学里，特别是在量子力学里，处于某种状态的物理系统，它所具有的一些性质，可以经过一序列的物理运作过程而得知。这些可以得知的性质，称为可观察量（observable）。例如，物理运作可能涉及到施加电磁场于物理系统，然后使用实验仪器测量某物理量的数值。在经典力学的系统里，任何可以用实验测量获得的可观察量，都可以用定义于物理系统状态的实函数来表示。在量子力学里，物理系统的状态称为量子态，其与可观察量的关系更加微妙，必须使用线性代数来解释。根据量子力学的数学表述，量子态可以用存在于希尔伯特空间的态向量来代表，量子态的可观察量可以用厄米算符来代表。

数学表述

本征态

假设，物理量$O$是某量子系统的可观察量，其对应的量子算符${\hat {O}}$，可能有很多不同的本征值$O_{i}$与对应的本征态$|e_{i}\rangle$，这些本征态$|e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n$，形成了具有正交归一性的基底：

$\langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}$；

其中，$\delta _{ij}$是克罗内克函数。

任何描述这量子系统的量子态$|\psi \rangle$，都可以用这基底的本征态表示为

$|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle$；

其中，$c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle$是复系数，是在量子态$|e_{i}\rangle$里找到量子态$|\psi \rangle$的机率幅。

假设，量子态$|\psi \rangle$等于这些本征态之中的一个本征态$|e_{k}\rangle$，则对于这量子系统，测量可观察量$O$，得到的结果必定等与本征值$O_{k}$，机率为1，量子态$|\psi \rangle$是“确定态”。

统计诠释

根据统计诠释，对应于可观察量的量子算符可能有很多本征值，测量结果只能是其中一个本征值，而且，每一个本征值出现的机会呈机率性。测量这个动作会将量子系统的量子态改变为对应于本征值的本征态，并且，在之后短暂片刻内，量子系统的量子态仍旧是这本征态。

假设，某量子系统的量子态为

$|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle$。

测量这个动作会将量子系统的量子态改变为算符${\hat {O}}$的一个本征态。假设量子态改变为本征态$|e_{i}\rangle$，则改变为这本征态的机率为$p_{i}=|c_{i}|^{2}$，测量结果是本征值$O_{i}$，得到这本征值的机率也为$p_{i}$。在测量之后短暂片刻内，量子系统的量子态仍旧是本征态$|e_{i}\rangle$。

将算符${\hat {O}}$作用于量子态$|\psi \rangle$，会形成新量子态$|\phi \rangle$：

$|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O}}|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle$。

从左边乘以量子态$\langle \psi |$，经过一番运算，可以得到

$\langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i}$。

所以，每一个本征值与其机率的乘积，所有乘积的代数和就是可观察量$O$的期望值：

$\langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i}$。

厄米算符

每一种经过测量而得到的物理量都是实数，因此，可观察量$O$的期望值是实数：

$\langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}$。

对于任意量子态$|\psi \rangle$，这关系都成立：

$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}$。

根据伴随算符的定义，假设${\hat {O}}^{\dagger }$是${\hat {O}}$的伴随算符，则$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle$。因此，

${\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }$。

这正是厄米算符的定义。所以，表现可观察量的算符，都是厄米算符。

不相容可观察量

假若两种可观察量的对易算符不等于0，则称这两种可观察量为“不相容可观察量”：

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0$；

其中，${\hat {A}}$、${\hat {B}}$分别是可观察量$A$、$B$的算符。

这两种算符${\hat {A}}$与${\hat {B}}$绝对不会有共同的基底。一般而言，${\hat {A}}$的本征态与${\hat {B}}$的本征态不同假设量子系统的量子态为$|\psi \rangle$。对于算符${\hat {A}}$，所有本征值为$a_{i}$的本征态$|\alpha _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n$，形成一个基底。量子态$|\psi \rangle$可以表示为这组基底本征态的线性组合：

$|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|\alpha _{i}\rangle$；

其中，$c_{i}=\langle \alpha _{i}|\psi \rangle$是复系数，是在量子态$|\alpha _{i}\rangle$里找到量子态$|\psi \rangle$的机率幅。

对于算符${\hat {B}}$，所有本征值为$b_{i}$的本征态$|\beta _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n$，形成了另外一个基底。量子态$|\psi \rangle$可以表示为这组基底本征态的线性组合：

$|\psi \rangle =\sum _{i}\ d_{i}|\beta _{i}\rangle$；

其中，$d_{i}=\langle \beta _{i}|\psi \rangle$是复系数，是在量子态$|\beta _{i}\rangle$里找到量子态$|\psi \rangle$的机率幅。

对于量子系统的可观察量$A$做测量，可能得到的结果是各种本征态$|\alpha _{i}\rangle$的本征值$a_{i}$，获得这些不同结果的机会具有机率性，可以表达为机率分布，结果为$a_{i}$的机率是$|c_{i}|^{2}$。

假设测量的结果是本征值$a_{j}$，则可以推断，在测量之后短暂片刻内，量子态是本征态$|\alpha _{j}\rangle$。假若立刻再测量可观察量$A$，由于量子态仍旧是本征态$|\alpha _{j}\rangle$，所得到的测量值是本征值$a_{i}$机率为1。假若立刻再对本征态$|\alpha _{j}\rangle$测量可观察量$B$，则会得到统计性的答案。假设测量的结果是本征值$b_{k}$，则可以推断，在测量之后短暂片刻内，量子态是本征态$|\beta _{k}\rangle$。

根据不确定性原理，

$\Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }{2i}}\right|$。

设定$\chi =\left|{\frac {\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }{2i}}\right|$。假设，$A$与$B$是两个不相容可观察量，则$\chi >0$。而$A$的不确定性与$B$的不确定性的乘积$\Delta A\ \Delta B$，必定大于或等于$\chi$。

实例

为了具体计算位置与动量的期望值，可以将量子态表现于位置空间，以位置空间的波函数来表示，使用对应的代数算符。

位置与动量

位置$x$，动量$p$都是可观察量，它们的算符都是厄米算符：

$\langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}x\psi \ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ (x\psi )^{*}\psi \ dx=\langle x\rangle ^{*}$，

$\langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)^{*}\psi \ dx=\langle p\rangle ^{*}$。

角动量

在三维空间里，角动量算符的x-分量${\hat {L}}_{x}$是厄米算符。因为

$\langle L_{x}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle =\langle L_{x}\rangle$；

其中，$y$与$z$分别是位置的y-分量与z-分量，$p_{y}$与$p_{z}$分别是动量的y-分量与z-分量。

类似地，角动量算符的y-分量${\hat {L}}_{y}$也是厄米算符。

参阅

• 位置算符
• 动量算符
• 角动量算符
• 哈密顿算符