反证法

反证法^[1]（英语：proof by contradiction）又称背理法，是一种论证方式，他首先假设某命题成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

理据

给出命题 $p$ 和命题 ${\bar {p}}$ （非 $p$ ），根据排中律，两者之中起码有一个是真（更强的说法为，除了真和假之外并无其他的情况），所以如果其中一个是假的，另一个就必然是真。给出命题 $q$ 和命题 ${\bar {q}}$ （非 $q$ ），根据无矛盾律，两者同时为真的情况为假。给出命题 ${\bar {p}}$ 和 $r$ ，根据否定后件律，如果若 ${\bar {p}}$ 成立时出现 $r$ ，则 $r$ 为假时 ${\bar {p}}$ 即为假。反证法在要证明 $p$ 时，透过显示出若 ${\bar {p}}$ 成立时出现矛盾（ $q$ 和 ${\bar {q}}$ ），即 ${\bar {p}}$ 为假，从而证明 $p$ 为真。

例子

${\sqrt {2}}$ 是无理数的证明（古希腊人）

证明：假设 ${\sqrt {2}}$ 是有理数，那么可以写成 ${\frac {p}{q}}$ 的形式，其中 $p$ 、 $q$ 皆为正整数且 $p$ 、 $q$ 互质。那么有

$p={\sqrt {2}}\times q$
$p^{2}=2\times q^{2}$

可得 $p^{2}$ 是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以 $p$ 也是偶数。因此可设 $p=2s$ ，从而 $p^{2}=4s^{2}$ ，代入上式，得： $q^{2}=2s^{2}$ 。所以 $q^{2}$ 也是偶数，故可得 $q$ 也是偶数。这样 $p$ 、 $q$ 都是偶数，不互质，这与假设 $p$ 、 $q$ 互质矛盾，假设不成立。因此 ${\sqrt {2}}$ 为无理数。

其他可用反证法证明的例子

数学上有许多的定理可用反证法来证明，以下是一小部分的例子：

证明有无限多个质数。
任意6人当中，求证或者有3人两两相识，或者有3人互不相识。
现有90张纸，每张纸都写有一个非负整数，已知这90个数之和小于1980，证明至少有三张数目相同的纸。
集合 $S=\{x:0<x<1\}$ 没有最小值。
设 $n$ 是大于1的整数，若所有小于或等于 ${\sqrt {n}}$ 的质数都不能整除 $n$ ，则 $n$ 是质数。
已知三角形ABC是锐角三角形，且 $\angle A>\angle B>\angle C$ 。求证： $\angle B>45^{\circ }$ 。
已知 $a$ 、 $b$ 为正实数，求证： ${\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}$ 。
已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 是实数，且 $ad-bc=1$ ，求证： $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ab+cd\neq 1$ 。
一个群若同时是交换群和单群，则该群是循环群
若一个循环群是单群，则该群的阶为质数
若一个循环群的阶为质数，则该群为单群
鸽笼原理