半单李代数

在数学中，单李代数是除了零和本身之外没有其它理想的李代数。半单李代数是指能表为单李代数的直和的李代数。若一个李代数能表为半单李代数与阿贝尔李代数的直和，则称之为约化李代数。半单李代数与约化李代数是李代数研究中的主要对象。

设 ${\mathfrak {g}}$ 为李代数，其半单性有下述刻划：

• ${\mathfrak {g}}$ 能表为单李代数之直和。
• Killing 形式 $B(x,y):=\mathrm {Tr} (\mathrm {ad} X\,\mathrm {ad} Y)$ 非退化。
• ${\mathfrak {g}}$ 没有非零的阿贝尔理想。
• ${\mathfrak {g}}$ 没有非零的可解理想。
• $\mathrm {rad} ({\mathfrak {g}})=(0)$

此外，若 ${\mathfrak {g}}$ 定义在零特征的域上，则可追加一项

• ${\mathfrak {g}}$ 半单若且唯若每个 ${\mathfrak {g}}$ 的表示都是完全可约的。

半单李代数的另一个重要性质是 $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}$，其逆未必成立。

文献

• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
• Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9

参见

• 半单
• 单李群
• 半单李群
• 约化群