内斯比特不等式

内斯比特不等式（英语：Nesbitt's inequality）是数学的一条不等式，它说对任何正实数$a$，$b$，$c$，都有：

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.$

当且仅当 $a=b=c$，等号成立。

证明

此不等式证明方法很多，例如从平均数不等式我们有：

${\frac {(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}}}$，

移项得出：

$[(a+b)+(a+c)+(b+c)]\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}\right)\geq 9$，

整理左式：

${\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {a+b+c}{a+c}}+{\frac {a+b+c}{a+b}}\geq {9 \over 2}$，

$\left({\frac {a}{b+c}}+1\right)+\left({\frac {b}{a+c}}+1\right)+\left({\frac {c}{a+b}}+1\right)\geq {9 \over 2}$。

因而不等式得证。