佩兰数列

在数学上，佩兰数列是一个整数数列，由起始数值$P_{0}=3;P_{1}=0;P_{2}=2$和递归关系$P_{n}=P_{n-2}+P_{n-3}$定义。

首数个值为3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, ... （OEIS:A001608）

佩兰数列的递归关系和巴都万数列一模一样，只是起始值不同而已。

佩兰伪质数

考虑数列中$n|P_{n}$的数，有1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...除掉1外，这些数都是质数。

已经证明了对于所有质数，$p|P_{p}$。但其逆定理并不成立，这样的合成数称为佩兰伪质数，最小的一个是$271441=521^{2}$。（OEIS:A013998）

历史

此数列早于1878年就被爱德华·卢卡斯研究（American Journal of Mathematics, vol 1, page 230ff）。1899年R. Perrin（L'Intermediaire Des Mathematiciens）又再研究。对此数列较详尽的研究是Dan Shanks及Bill Adams在1982年发表的论文（Mathematics of Computation, vol 39, n. 159）。

生成函数

佩兰数列的生成函数为：

$G(P(n);x)={\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}-x^{3}}}.$

矩阵形式

${\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}^{n}*{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P\left(n+2\right)&P\left(n+1\right)&P\left(n\right)\end{pmatrix}}$

估计值

和巴都万数列一样，佩兰数列的一般形式也和方程$x^{3}-x-1=0$的三个根有关：实根$p$（即银数）和两个复数根$q$、$r$。

$P_{n}=p^{n}+q^{n}+r^{n}$。

因为$q$、$r$的绝对值少于1，在$n$很大的时候会很接近0，可以忽略：$P_{n}\approx p^{n}$。显然易见两个连续佩兰数之比会以银数为极限，即约1.324718。