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上积

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代数拓扑中,上积杯积(cup product)是将两个度为pq上循环联接起来,形成度为p+q的复合循环的方法。这定义了上同调中的结合(与分散)分次交换积,将空间X的上同调转变为分次环,称作上同调环。上积由詹姆斯·韦德尔·亚历山大爱德华·切赫哈斯勒·惠特尼于1935–1938年间提出,1944年塞缪尔·艾伦伯格给出了一般定义。

定义

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奇异上同调中,上积构造给出了拓扑空间X的分次上同调环上的积。

构造始于上链之积:若p上链,且q上链,则

其中σ是奇异-单纯形, 是S张成的单纯形规范嵌入-单纯形,后者的顶点索引为

非正式地,是σ的第p正面(front face),是σ的第q背面(back face)。

上链的上积的上边缘(coboundary)为

两个上循环的上积仍是上循环,上边缘与上循环(任意顺序)的积仍是上边缘。上积在上同调中引入了双线性运算

性质

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上同调中的上积满足以下特性

因此相应的乘法是分次交换的。

上积的函子性体现在以下方面:若

是连续函数,

是上同调中的诱导同态,则

中所有类α、β。也就是说,f *是(分次)环同态

解释

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可将上积视作由下面的组合诱导而来:

链复形表示,其中第一个映射是克奈映射,第二个映射由对角诱导。

这个构成传给商,便给出了良定义的上同调映射,这就是上积。这种方法解释了上同调上积的存在,但没有解释同调上积:诱导了映射,但还会诱导映射,后者与我们定义积的方法相反。不过,这在定义下积时是有用的。

上积的这种表达体现了双线性,即

例子

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上积可用来区分流形和具有相同上同调群的空间之楔。空间与环面T具有相同的上同调群,但具有不同的上积。在X的情况下,与 相关的上链的乘法是退化的;而在T中,第一个上同调群中的乘法可用于将环面分解为2胞图,从而使积等于Z(更一般地说是M,此处是基模)。

其他定义

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上积与微分形式

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德拉姆上同调中,微分形式的上积由楔积导出。即,两个微分形式的楔积属于两个原德拉姆类的上积的德拉姆类。

上积与几何相交

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环绕数可用链的补上的非零上积定义。这两个链循环在 变形中的补退化为环面和2球的楔和,其有度为1、不为零的上积。

对于定向流形,有几何启发式,即“上积与相交是对偶的”。[1][2]

维定向光滑流形。若两个余维分别是ij的子流形横截着交,那么它们的交又是余维是i + j的子流形。将这些流形的基本同调类的像置于包含(inclusion)之中,就可以得到同调上的双线性积,与上积是庞加莱对偶的,即取庞加莱对则有以下等式:

.[1]

同样,环绕数也可用交来定义,将维数移动1,或者用链之补上的非零上积来定义。

梅西积

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梅西积推广了上积,允许定义“高阶环绕数“,即米尔诺不变量

上积是二元运算。可以定义三元甚至多元的高阶运算,称作梅西积,是上积的推广。它是一种高阶上同调运算,目前只定义了一部分(只定义了部分三元运算)。

另见

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参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 Hutchings, Michael. Cup Product and Intersections (PDF). (原始内容存档 (PDF)于2023-03-08). 
  2. ^ Ciencias TV, Informal talk in Derived Geometry (Jacob Lurie), 2016-12-10 [2018-04-26], (原始内容存档于2021-12-21) 
  • James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback)
  • Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3
  • Allen Hatcher, "Algebraic Topology页面存档备份,存于互联网档案馆)", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0