讨论:域 (数学)

定义

F是一个集合

二元操作符可用任何符号做标记。视应用而定。比如当F的元素为集合Ω的子集时，一般记为'∩'和'$\Delta$'，更一般的把它们记为+和.（这就是原因叫作加跟乘）。

域（F,两个二元操作符）满足下列性质：

1. F对两个操作封闭。

2. 一个操作（.或∩）对另一个操作(+或)符合分配律。

3. 两个操作都符合结合率。(a+b)+c=a+(b+c) (a.b).c=a.(b.c)

4. 两个操作都符合交换率。a+b=b+a a.b=b.a

5. 两个操作都存在标识元。a+0=a ($a\Delta$ø=a) a.1=a (a∩Ω)=a

6. 两个操作都存在逆元。a+(-a)=0 (a$\Delta$a'=Ω) a.a^(-1)=1 (a∩a')=ø

最好将环，半环，群，半群等都列在一起。 A group (F,one operator) satisfies the following property:

F is closed for the operation.

The operation is associative.

Identity for the operation is included.

Inverses for the operation is included.

A semigroup doesn't require the identity and inverses.

环（F,两个二元操作符）满足下列性质(环比域要定义的松一些)：

1. F对两个操作封闭。

2. 一个操作（.或∩）对另一个操作(+或$\Delta$)符合分配律。

3. 两个操作都符合结合率。

4. 一个操作都符合交换率。

5. 可交换操作都存在标识元和逆元。

6. 另一个操作都存在标识元。

A semiring doesn't require the inverses for the commutative operation included in F.

A ring becomes a field when two operations are commutative and have inverses included.

A field is a ring, a ring is a semiring, a semiring is a group.

仅供参考。Jackzhp 23:26 2006年9月4日 (UTC)

一些补充信息

Ω集合，2^Ω (或记为P(Ω))的子集S是semi-algebra半代数，如果

1. 空集和Ω属于S。

2. 对有限交封闭。

3. 如A属于S，A的补=UBi, Bi属于S, Bi∩Bj=空

S是algebra代数/field域，如果

1. 空集和Ω属于S。

2. 对有限并封闭。

3. 对补封闭。

由2和3，可以推出对有限交封闭。

S是σ-algebraσ代数/σfieldσ域，如果

1. 空集和Ω属于S。

2. 对可数并封闭。

3. 对补封闭。

当域对可数并封闭，这个域就是一个σ域。 将半代数中互不相交的元素进行有限并将形成一个代数。你可以尝试将证明贴在下面。Jackzhp 16:36 2006年9月8日 (UTC)