柱谐函数

在数学中，柱谐函数是指在柱坐标中，拉普拉斯方程，$\nabla ^{2}V(\rho ,\varphi ,z)=0$ ，的一系列的解。每一个柱谐函数 $V_{n,k}(\rho ,\varphi ,z)$ 都是三个函数的积：

$V_{n,k}(\rho ,\varphi ,z)=P_{n,k}(\rho )\Phi _{n}(\varphi )Z_{k}(z)\,$

其中 $(\rho ,\varphi ,z)$ 是柱坐标下的坐标（分别为半径、极角和高度），而 n 和 k 则是两个常数，用以区分不同的柱谐函数。所有的柱谐函数一起，组成一组正交完备的基底，任何一个拉普拉斯方程的解都可以写成这些函数的线性组合。

有时候，柱谐函数也用来指代贝塞尔函数（柱谐函数最重要的组成部分）。

定义

本征方程的推导

柱坐标下的拉普拉斯方程为：

$\nabla ^{2}V={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial V}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0$

使用分离变量法，设：

$V=P(\rho )\,\Phi (\varphi )\,Z(z)$

代入拉普拉斯方程，得到：

${\frac {\Phi Z}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}(\rho {\frac {dP}{d\rho }})+{\frac {PZ}{\rho ^{2}}}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}+P\Phi {\frac {d^{2}Z}{dz^{2}}}=0$

分离变量后，可以写成：

${\begin{cases}{\frac {1}{P\rho }}{\frac {d}{d\rho }}(\rho {\frac {dP}{d\rho }})+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\,(-n^{2})+k^{2}=0\\{\frac {1}{\Phi }}(d^{2}\Phi /d\varphi ^{2})=-n^{2}\\{\frac {1}{Z}}(d^{2}Z/dz^{2})=k^{2}\end{cases}}$，整理得 ${\begin{cases}\rho ^{2}P''+\rho P'+(k^{2}\rho ^{2}-n^{2})P=0\\\Phi ''+n^{2}\Phi =0\\Z''-k^{2}Z=0\end{cases}}$

本征方程的求解

这里，$\Phi$是一个以$2\pi$为周期的函数，即满足周期性边界条件$\Phi (\varphi )=\Phi (\varphi +2\pi )$，因此$n$必须为非负整数。可以解出：

$\Phi _{n}=\{\cos(n\varphi ),\sin(n\varphi )\}$，$n\in \mathbb {N}$

或，等价地：

$\Phi _{n}=\{e^{in\varphi },e^{-in\varphi }\}$，$n\in \mathbb {N}$

这里，花括符表示，两个解是简并的。即对于一个n，方程有两个线性无关的解（n=0时除外）。

对于$Z$的方程，$k$可以是任意一个复数。对于一个特定的$k$，方程有两个线性无关的解。

若k是一个实数，则：

$Z_{k}=\{\cosh(kz),\sinh(kz)\}$

或，等价地：

$Z_{k}=\{e^{kz},e^{-kz}\}$

若k是一个纯虚数，则：

$Z_{k}=\{\cos(|k|z),\sin(|k|z)\}$

或，等价地：

$Z_{k}=\{e^{i|k|z},e^{-i|k|z}\}$

对于周期性边界条件，k取分立值；对于非周期性边界条件，k取连续值。

而$P$的方程则是一个贝塞尔方程，它的解$P_{n,k}$形式如下。

若$k=0$，则该方程简化为一个欧拉方程：

$P_{0,0}=\{1,\ln \rho \}$

$P_{n,0}=\{\rho ^{n},\rho ^{-n}\},n\neq 0$

若$k$是一个非零实数，则方程的解为第一类和/或第二类贝塞尔函数：

$P_{n,k}=\{J_{n}(k\rho ),Y_{n}(k\rho )\}$

若k是一个纯虚数，则方程的解为修正贝塞尔函数：

$P_{n,k}=\{I_{n}(|k|\rho ),K_{n}(|k|\rho )\}$

最终，柱谐函数可以表达为以上三个函数的乘积，$V_{n,k}=P_{n,k}\Phi _{n}Z_{k}$。

正交完备性

柱谐函数是正交完备的。正交性是指：

$\int _{0}^{\infty }d\rho \int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{-\infty }^{\infty }dz\left[V_{n,k}(\rho ,\theta ,\varphi )V_{n',k'}(\rho ,\theta ,\varphi )\right]={\frac {1}{C_{n,k}^{2}}}\,\delta _{n,n'}\,\delta _{k,k'}$

其中，$\delta _{n,n'}$和$\delta _{k,k'}$为克罗内克符号，$C_{n,k}$为归一化系数。

完备性是指，对于柱坐标下的任何一个拉普拉斯方程的解均可以写成若干个柱谐函数的线性叠加。

$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n,k}A_{n,k}V_{n,k}$ ，k取分立值

$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n}\int dk\,A_{n}(k)V_{n,k}$ ，k取连续值

参见

• 贝塞尔函数
• 球谐函数