挫曲

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细长件受压缩力后弯曲挫屈

挫屈（buckling）力学称屈曲 ，土木工程称为挫屈；是指细长杆件受到压力时，发生弯曲变形的一种现象。由不稳定造成的结构失效称为屈曲失效。理想压杆丧失稳定后，由原来的直线平衡状态变为弯曲平衡状态。理论上，挫曲是因为力学平衡方程式的解出现分岔（解的本质发生改变）所造成的。在受力增加到一定程度之后，物体会出现二种平衡状态，一种是纯压缩力，另一个是有侧向偏移变形的平衡状态。

挫屈的特点是在结构件中，边缘承受压缩应力的元件突然断裂，而元件失效时的压应力小于材料可以承受的终极抗压应力。挫曲的数学分析一般会设法加入方向也是轴向，但和轴有一段位移（偏心）的压应力，以产生原来理想施力时不会受现的二次弯矩。

当在一元件（例如杆件）上的压缩负荷增加，多半最后负荷会大到使元件变形不稳定。若负荷继续加大，会造成明显，甚至无法预测的变形，可能让元件完全无法承受负荷。若变形还不是灾难性的，元件仍会继续承受负载。若挫曲的元件是结构件（例如大楼）中的一部分，会由其他的元件来分担已挫曲元件原来要承受的负载。

柱的挫屈

承受同心轴向负荷的柱出现挫屈的形变

轴向负荷的偏心造成梁元素上的弯矩

柱的有效长度相对于截面积最小回转半径的比例，称为细长比（slenderness ratio），有时会用希腊字母λ表示。柱的细长比在考虑其挫屈特性时相当重要，以下的值是为了方便使用的近似值。

• 若铁柱的细长比未超过50，视为短的铁柱，若细长比介于50到200之间，是中间长度的铁柱，其特性主要会受材料的强度极限所影响，若细长比超过200，即视为是长的铁柱，其特性主要会受材料的弹性模数影响。
• 短的水泥柱是指其未支撑长度的细长比小于10的水泥柱，细长比若超过10，即视为是长柱（有时也称为是细长柱）。
• 木材若细长比小于10，视为是短柱。中间长度木材和长木材的分界不好决定，有一种定义长木材长度下限的方式其长度需大于最小截面的K倍，K会随弹性模数影响以及和平行纤维的最大允许压应力有关，因此会随木材的品种不同而不同，在许多结构工具书中都会列出不同材料的K值。

若柱子的负载有通过其截面的重心上，称为轴向负载，若负载未通过重心上，称为偏心负载。受轴向压缩力的短柱在挫屈之前，就会因为承受过大的压缩应力而失效，但受轴向压缩力的长柱会因挫屈而失效，失效时轴向压缩应力的影响其实不大，可以忽略。中间长度的柱子在其失效时，是因为压缩应力及挫屈总和的结果而失效。

数学家莱昂哈德·欧拉在1757年提出了细长理想柱在不挫屈的情形下，可以承受的最大轴向压缩力。理想柱是指直的、均匀的、没有初始应力的柱子。其最大负载（有时称为临界负载）会使柱处于一个不稳定的平衡状态，任意小的侧向力都会使柱因为挫屈而失效。以下的公式不考虑侧向力，不过若将侧向力考虑进来，其临界负载的数值几乎不会变化。

$F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}$

其中

$F$ 为最大临界力（柱的轴向压缩力）

$E$ 为弹性模数

$I$ 为柱的截面二次轴矩

$L$ 为柱的未支撑长度

$K$ 为柱等效长度，其数值视柱子两侧的支撑条件而定：

若二端都用插销连接（可以旋转），$K$ = 1.0.

若二端都固定，无法旋转，$K$ = 0.50.

若一端固定，一端只用插销连接，$K$ ≈ 0.699.

若一端固定，另一端可以自由移动，$K$ = 2.0.

$KL$为柱的等效长度

以上公式中可以看出有关细长柱乘载能力的一些特性。

1. 临界乘载和弹性模数有关，和材料的抗压强度无关。
2. 临界乘载和截面积的截面二次轴矩成正比。
3. 临界乘载明显的受边界支撑条件的影响。边界支撑条件决定挫屈的形式，也决定挫屈时拐点的位置。细长柱变形时的拐点是在其曲率由正变负或由负变正的位置，也是内弯矩为零的位置。

不同边界支撑条件下的挫屈情形，四个细长柱材质及形状都相同，但因为不同的边界支撑条件，其挫屈情形不同

若重新调整材料分布，增加其截面二次轴矩，就可以提升临界乘载。在不增加材料重量的情形下，可以尽可能使材料远离其截面积的中心轴，就可以提升临界乘载，不过也要维持材料有一定的厚度，以免因材料太薄而产生局部的挫屈。若考虑挫屈，相同材料的空心柱比实心柱更可以抵抗挫屈的影响。

由公式中可以看到细长柱的长度对挫屈的影响。若柱的截面积固定，若未支撑的长度加倍，其临界乘载会变为原来的四分之一。支撑条件也会影响临界乘载，若支撑条件是完全刚性的（不允许移动及转动），临界乘载会是允许转动支撑条件临界乘载的四倍。

回转半径定义为截面二次轴矩和截面积商的平方根，因此上式可以重新整理。考虑都是 插销连接的支撑条件下的尤拉公式，将I用A·r² 取代，尤拉公式会变为以下的式子。

$\sigma ={\frac {F}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(\ell /r)^{2}}}$

其中$F/A$是柱的最大允许应力，而$l/r$为细长比。

由于大部分的结构用柱都是属于中间长度（临界乘载除考虑挫屈外，也要考虑强度极限影响），也不可能假设是理想的柱，尤拉公式在原始设计上的实用程式不高。尤拉公式不适用的原因包括几何上的差异以及材料本身非线性甚至塑性的变形。后来有许多柱的经验公式可以符合测试的数据，这些公式都具体表现了细长比的概念，再在公式中导入适当的安全系数。其中一个公式是佩里罗伯逊公式，在小曲率的情形下计算临界乘载。由威廉·约翰·麦夸恩·兰金及Perry Hugesworth Gordon（1899 – 1966）提出的兰金高登公式（Rankine Gordon formula）也是整理实验结果而来，提出柱的挫屈临界乘载如下：

${\frac {1}{F_{max}}}={\frac {1}{F_{e}}}+{\frac {1}{F_{c}}}$

其中F_e是尤拉临界乘载，F_c 是最大压缩乘载，此公式计算的F_max多半会是保守的估计值。

相关条目

• 佩里罗伯逊公式
• 轨道预力
• 劲化
• 伍德法
• 吉村挫屈
• 欧拉临界负载

外部链接

• The complete theory and example experimental results for long columns are available as a 39-page PDF document at http://lindberglce.com/tech/buklbook.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Laboratory for Physical Modeling of Structures and Photoelasticity (University of Trento, Italy) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Importance of Buckling Analysis （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• https://web.archive.org/web/20100401042249/http://www.midasuser.com.tw/t_support/tech_pds/files/Tech%20Note-Lateral%20Torsional%20Buckling.pdf