局部域

在数学上，局部域是一类特别的域，它有非平凡的绝对值，此绝对值赋予的拓扑是局部紧的。局部域可粗分为两类：一种的绝对值满足阿基米德性质（称作阿基米德局部域），另一种的绝对值不满足阿基米德性质（称作非阿基米德局部域）。在数论中，数域的完备化给出局部域的典型例子。

非阿基米德局部域

设 $F$ 为非阿基米德局部域，而 $|\cdot |$ 为其绝对值。关键在下述对象：

上述对象与赋值环的构造相呼应；事实上，可证明必存在实数 $0<c<1$ 及离散赋值 $v:F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z}$ ，使得

\forall a\in F\;c^{v(a)}=|a|

.

可取唯一的 $c$ 使得 $v$ 为满射，称之为正规化赋值。

从此引出非阿基米德局部域的另一个等价定义：一个域 $F$ ，带离散赋值 $v:F^{\times }\rightarrow \mathbb {Z}$ ，使得 $F$ 成为完备的拓扑域，而且剩余域有限。

这类局部域的行为可由局部类域论描述。

局部域的完整分类如次：

$\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ 。这些是阿基米德局部域。
p进数域 $\mathbb {Q} _{p}$ 的有限扩张。这些是特征为零的非阿基米德局部域。
$\mathbb {F} _{q}((T))$ 的有限扩张（其中 $\mathbb {F} _{q}$ 表有q个元素的有限域）。这些是特征非零的非阿基米德局部域。